\( \int\limits_{1}^{2}\frac{e^x}{(e^x+1)^2}dx \)
Substitution \(u=e^x+1\)
Integrationsgrenzen verändern, dann ist eine Rücksubstitution nicht nötig.
Bestimmung der neuen oberen Grenze. Jetzt ist sie \(x=\red {2}\) . Das wird nun eingesetzt in \(u=e^x+1\)
\(u=e^\red {2}+1\)
Selbiges auch mit der unteren Grenze: \(x=\blue {1}\)
\(u=e^\blue {1}+1\)
Der alte Zähler lautet \(e^x\) . Ich löse nun \(u=e^x+1\) nach \(e^x \) auf
\(e^x=u-1\) Das ist nun der neue Zähler.
Der neue Nenner lautet \(u^2\)
Nun muss noch \(dx\) verändert werden. \(u=e^x+1\)
\( \frac{du}{dx}=e^x\) Dies muss nun nach dx aufgelöst werden
\(dx = \frac{1}{e^x}du=\frac{1}{u-1}du \)
Nun ist
\( \int\limits_{1}^{2}\frac{e^x}{(e^x+1)^2}dx=\int\limits_{e+1}^{e^2+1}\frac{u-1}{u^2}\cdot\frac{1}{u-1}du=\int\limits_{e+1}^{e^2+1}\frac{1}{u^2}du\\=\int\limits_{e+1}^{e^2+1}u^{-2}du =[-u^{-1}]_{e+1}^{e^2+1}=[-\frac{1}{u}]_{e+1}^{e^2+1}\\=\frac{1}{e+1}-\frac{1}{e^2+1}≈0,1497\)