Bestimmen Sie die folgenden Integrale(Substitution)

Question

Aufgabe: Bestimmen Sie die folgenden Integrale:

Text erkannt:

\( \int \limits_{1}^{2} \frac{e^{x}}{\left(e^{x}+1\right)^{2}} \mathrm{~d} x= \)

Hinweis: Substituieren Sie z=e^x + 1

Problem/Ansatz:

Ich bin mir nicht ganz sicher ob mein vereinfachtes Integral korrekt ist und ebenfalls nicht wie ich davon die Stammfunktion bilden soll. Ich habe:

u= e^x + 1 , du=e^x dx

= ∫ e^x/ (t)^2 * du mit den Grenzen oben: e² + 1 und unten e¹ + 1. Ich bin mir nicht sicher ob e^x im Zähler bleiben soll und wie ich dann die Stammfunktion bilden kann.

Danke euch

Comments

Wenn es 1/t^2 ist, wäre es ja relativ einfach. Müsste dann ja -1/x die Stammfunktion sein. Ich bin mir da aber nicht sicher ob im Zähler 1 oder e^x steht oder noch was anderes...

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Hier ausführlich:

https://www.integralrechner.de/

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Danke dir...

Answer 1

Hallo,

z=e^x +1

dz/dx= e^x

dx=dz/e^x

= ∫  \( \frac{e^x}{z^2} \)  *\( \frac{dz}{e^x} \)

e^x wird gekürzt

= ∫\( \frac{1}{z^2} \) dz

= -1/z +c

Rücksubstitution

=-1(/e^x +1) +C

dann noch die Grenzen einsetzen

\( \frac{1}{\mathrm{e}+1}-\frac{1}{\mathrm{e}^{2}+1} \)
≈ 0.1497

Comments

Vielen Dank, so habe ich das auch vermutet. Als Ergebnis habe ich nach der Rücksubstitution und dem einsetzen der Grenzen: -1/e^e^2 +1  + 1/e^e+1 +1. Ist das richtig?

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siehe oben , habs ergänzt

Answer 2

Warum kennen und benutzen so wenig Leute den https://www.integralrechner.de/

Answer 3

\( \int\limits_{1}^{2}\frac{e^x}{(e^x+1)^2}dx \)

Substitution \(u=e^x+1\)

Integrationsgrenzen verändern, dann ist eine Rücksubstitution nicht nötig.

Bestimmung der neuen oberen Grenze. Jetzt ist sie \(x=\red {2}\) . Das wird nun eingesetzt in \(u=e^x+1\)

\(u=e^\red {2}+1\)

Selbiges auch mit der unteren Grenze:  \(x=\blue {1}\)

\(u=e^\blue {1}+1\)

Der alte Zähler lautet \(e^x\) . Ich löse nun  \(u=e^x+1\)  nach \(e^x \) auf

\(e^x=u-1\) Das ist nun der neue Zähler.

Der neue Nenner lautet  \(u^2\)

Nun muss noch \(dx\) verändert werden.  \(u=e^x+1\)

\( \frac{du}{dx}=e^x\)   Dies muss nun nach dx aufgelöst werden

\(dx = \frac{1}{e^x}du=\frac{1}{u-1}du \)

Nun ist

  \( \int\limits_{1}^{2}\frac{e^x}{(e^x+1)^2}dx=\int\limits_{e+1}^{e^2+1}\frac{u-1}{u^2}\cdot\frac{1}{u-1}du=\int\limits_{e+1}^{e^2+1}\frac{1}{u^2}du\\=\int\limits_{e+1}^{e^2+1}u^{-2}du =[-u^{-1}]_{e+1}^{e^2+1}=[-\frac{1}{u}]_{e+1}^{e^2+1}\\=\frac{1}{e+1}-\frac{1}{e^2+1}≈0,1497\)