Lösung Exponentialgleichung = 0. e^2x + e^x -2 = 0

Question

Aufgabe ist:

e^2x + e ^x  -2 = 0

Ich weiß zwar, dass die Lösung 0 ist aber wie komme ich da rechnerisch drauf?

wenn ich das umstelle und dann ln(2/3) mache kommt ja nicht 0 raus

Answer 1

e^{2·x} + e^x - 2 = 0

(e^x)^2 + e^x - 2 = 0

Subst. z = e^x

z^2 + z - 2 = 0 --> z = -2 ∨ z = 1

e^x = -2 --> keine Lösung

e^x = 1 --> x = 0

Answer 2

Alternative: e^{2x} = (e^x)^2

Faktorisieren nach Vieta:

e^2x + e^x  -2 = 0

(e^x)^2 + 1*e^x - 2 = 0     | Ansatz: + und - damit hinten -2 möglich ist.

(e^x - ...)(e^x + ... ) = 0 | Da (-1)*2 = -2 und (-1)+ 2= 1

(e^x -1)(e^x + 2) = 0

Erster Faktor kann 0 werden, zweiter Faktor nicht.

e^x - 1 = 0

e^x = 1 . Du weisst, dass 1 = e^0.

e^x = e^0  | Exponentenvergleich

x = 0