Quadratische Gleichungen und andere: -3x² + 6x - 2 = 0, 0,5x³ - 2x² + 4x = 0, 2x^4 + 10x² = 0

Question

Kann jemand bitte diese Gleichungen lösen die ich nicht verstehe? Danke schon im Voraus.

Lösen Sie die Gleichungen!

 

a)     -3x² + 6x - 2 = 0

 

b)      0,5x³ - 2x² + 4x = 0

 

c)       2x⁴ + 10x² = 0

Answer 1

a)     -3x² + 6x - 2 = 0        |: (-1)

3x^2 - 6x + 2=

x_1,2 = 1/6 (6 ± √(36 - 24))

= 1/6 (6 ± √12) = 1/6 ( 6±2√3)

= 1 ±  √3 / 3

 

b)      0,5x³ - 2x² + 4x = 0       |*2

 

x^3 - 4x^2 + 8x =0

x(x^2 - 4x + 8) = 0

x₁ = 0

x2 und x3?

x^2 - 4x + 8 = 0

a=1, b=2, c=3

x2,3 = 1/2 ( -2 ±√(16 - 32))

= 1/2 (-2 ± √(-16)

Hat nur 2 komplexe Lösungen

= 1/2 (-2 ± 4i) = -1 ± 2i = x_2,3

c)       2x⁴ + 10x² = 0

x^4 + 5x^2 = 0

x^2 (x^2 + 5)=0

x₁ = 0 

x^2 = -5

x_2,3 = ±√5 i

Brauchst du auch komplexe Lösungen? Ansonsten Lösung auch hier nur x₁=0

Answer 2

So ich hab das jetzt mal mit nem Foto gemacht. Ich hoffe man kann das halbigs lesen.

Comments

Keine Ahnung warum das Querformat hat.

Edit: bereits geändert

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super bild eine frage nur. was steht da beim blitz feil? kann das nicht lesen.

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keine reelle Lösungen mehr


das ist so, da unter der Wurzel einen neg. Zahl steht, deshalb wäre nur eine komplexe Lösung zu finden.

Answer 3

 

 

Aufgabe a) lässt sich einfach mit der p-q-Formel lösen; dazu muss -3x² in x² verwandelt werden:

-3x² + 6x - 2 = 0 | : (-3)

x² - 2x + 2/3 = 0

p-q-Formel: 

x² + px + q = 0

x_1,2 = -p/2 ± √(p/2)² - q

Also hier: 

x_1,2 = 1 ± √(1-2/3)

x₁ = 1 - √(1/3)

x₂ = 1 + √(1/3)

 

Bei Aufgabe b) kann man zunächst einmal x ausklammern: 

0,5x³ - 2x² + 4x = 0

(0,5x² - 2x + 4) * x = 0

Damit haben wir schon die erste Nullstelle

x₁ = 0

denn ein Produkt wird dann 0, wenn mindestens einer der Faktoren = 0 ist. 

Den Klammerausdruck lösen wir wieder mit der p-q-Formel:

0,5x² - 2x + 4 = 0 | * 2

x² - 4x + 16 = 0

x₂ = 2 - √(4 - 16)

x₃ = 2 + √(4 - 16)

Diese beiden Ergebnisse gelten in ℝ nicht, weil unter dem Wurzel-Zeichen eine negative Zahl steht, was in ℝ nicht erlaubt ist. 

Also ist die einzige Nullstelle dieser Gleichung

x = 0

 

Bei Aufgabe c) können wir wieder x² ausklammern: 

2x⁴ + 10x² = 0

(2x² + 10) * x² = 0

x² = 0

x = ± √0

Die 1. Nullstelle liegt also bei

x₁ = 0

Dies ist eine doppelte Nullstelle, d.h. der Graph der Funktion schneidet die x-Achse nicht, sondern berührt sie nur im Punkt (0|0) 

Und nun zum Klammerausdruck: 

2x² + 10 = 0 | :2

x² + 5 = 0

x² = -5

Aus einer negativen Zahl kann man in ℝ keine Wurzel ziehen. 

Deshalb auch hier die einzige (und doppelte) Nullstelle bei

x = 0

 

Besten Gruß

Comments

2x² + 10 = 0 | :2

x² + 5 = 0

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@ Lu:

  Habe es korrigiert :-)

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danke eine frage nur. Was ist das Zeichen nach aus einer negativen zahl kann man in .... keine wurzel ziehen?

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ℝ ist das Zeichen für reelle Zahlen. vgl. auch https://www.matheretter.de/wiki/irrationale-zahlen

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Du meinst ℝ ?

Das steht für die reellen Zahlen. 

Natürliche Zahlen ℕ = 1, 2, 3, 4, 5 usw.

ℕ₀ = 0, 1, 2, 3, 4, 5 usw.

Ganze Zahlen ℤ = 0, -1, 1, -2, 2, -3, 3, -4, 4 usw.

ℚ = Rationale Zahlen z.B. 1/2, 3/5, 7/11, -3/7 usw.

ℝ = Reelle Zahlen, dazu gehören auch Zahlen, die sich nicht als Bruch darstellen lassen wie z.B. π oder √2

ℂ = Komplexe Zahlen z.B. 3 + i, wobei für i gilt: i² = -1

Die Bereiche sind nach Mächtigkeit aufsteigend geordnet, das heißt

ℕ ⊂ ℕ₀ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ

Es gibt also z.B. "mehr" ganze Zahlen als natürliche Zahlen :-)

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Es gibt also z.B. "mehr" ganze Zahlen als natürliche Zahlen :-)

das stimmt so nicht.

ℕ ⊂ ℕ₀ ⊂ ℤ ⊂ ℚ sind alle gleich mächtig

oder irre ich mich? sind ja alle abzählbar unendlich

erst ℝ ist überabzählbar unendl.

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@ tuni09:

Natürlich gibt es unendlich viele ganze Zahlen und unendlich viele natürliche Zahlen. Die Mächtigkeit der Menge der ganzen Zahlen ist aber größer, nicht wahr?

Ich habe diese Worte gewählt, um diesen Sachverhalt einfach zu verdeutlichen :-)

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ok dann hab ich den Begriff Mächtigkeit, siehe auch https://de.wikipedia.org/wiki/M%C3%A4chtigkeit_%28Mathematik%29

seit vielen Jahren falsch im Gedächtnis...

werd ich mir nochmal anschaun ;)

Hätte eigentlich gedacht das ist das Prinzip von Hilberts Hotel

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@ tuni09:

KOTAU - ich glaube, ich habe den Begriff der Mächtigkeit falsch verstanden. 

Danke für Deine Anregungen!!

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Ja macht ja nichts! Du willst ja nicht wissen wie oft ich mich schon wo geirrt habe in Mathe :)

Wenn ich Fragen darf, was heißt denn KOTAU? ^^

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Diesen Ausdruck habe ich kürzlich gelesen, als sich jemand für einen Fehler entschuldigte, ich fand ihn so cool :-)
Kotau: Ehrerbietiger Gruß im Kaiserreich China, siehe:
https://de.wikipedia.org/wiki/Kotau