Biquadratische Gleichung 2x^4 - 3x^2 - 20=0

Question

2x^4-3x^2-20=0 Lösung mit Rechenweg bitte.

Bitte lösung mit rechenweg. Mit z einsetzen und der p q formel.

Answer 1

2 x ⁴ - 3 x  ² - 20 = 0

<=> x ⁴ - 1,5 x ²  - 10 = 0

[Substituiere: z = x ² ]

<=> z ² - 1,5 z = 10

[quadratische Ergänzung berechnen und auf beiden Seiten addieren oder pq-Formel anwenden. Ich mach's mit der quadratischen Ergänzung. Diese ist ( 1,5 / 2 ) ² = 0,75 ², also::] 

<=> z ² - 1,5 z + 0,75 ² = 10 + 0,75 ² = 3,25 ²

<=> z - 0,75 = +/- 3,25

<=> z = - 2,5 ODER z = 4

Rücksubstitution:

x ² = - 2,5 => keine reellwertige Lösung

x ² = 4 <=> x = 2 ODER x = - 2

Die Lösungen der gegebenen Gleichung sind also x = - 2 und x = 2.   

Comments

<=> z ² - 1,5 z + 0,75 ² = 10 + 0,75 ² = 3,25 ²

<=> z - 0,75 = +/- 3,25


ist mir unklar? Wie hast du das umgeformt?


lg

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Mit Hilfe der zweiten binomischen Formel (einen Zwischenschritt habe ich ausgelassen):

z  ² - 1,5 z + 0,75 ² = 3,25 ²

[Linke Seite mit der zweiten binomischen Formel zusammenfassen:]

<=> ( z - 0,75 ) ² = 3,25 ²

{Jetzt Wurzelziehen:]

<=>  z - 0,75 = +/- √ ( 3,25 ² )

<=> z - 0,75 = +/- 3,25

Answer 2

2x^4-3x^2-20=0

z:=x^2

=> 2z^2-3z-20=0 | :2

z^2-(3/2)z-10=0

z_1,2=(3/2)+-√((3/2)^2+10)=(3/2)+-√((9/4)+10)=(3/2)+-√((9/4)+40/4)=(3/2)+-√(49/4)=(3/2)+-7/2

p/q-Formel anwenden
=> z_1=(3/2)+7/2=5 und z_2=(3/2)-7/2=-2

durch rücksubstitution

erhält man für z_1 die lösungen 5 und -5

und bei z_2 gibt es keine reellen Lösungen.

Brauchst du die komplexen Lösungen auch?

Comments

5 bzw. - 5 sind aber nicht wirklich Lösungen der gegebenen Gleichung ...

Setzt man ein, erhält man:

2 * 5 ⁴ - 3 * 5 ²  - 20 = 1155 <> 0

2 * ( - 5 ) ⁴ - 3 * ( - 5 ) ² - 20 = 1155 <> 0

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wollte eigentlich +√5 und -√5 schreiben.

Halt normale Rücksubstitution. Aber danke.


Aber irgendwo muss bei mir ein Fehler sein, weil hab nicht das gleiche wie du

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In deiner 5. Zeile wendest du die pq-Formel an. p hat aufgrund der vorherstehenden Gleichung dabei den Wert - 3 / 2. 

In die pq-Formel ist aber zu Beginn und unter der Wurzel der Wert ( - p / 2 ) einzusetzen, also

- ( - 3 / 2 ) / 2 = 3/4

Statt dessen hast du einfach nur - p = 3 / 2 eingesetzt.

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Habs scho es gehört nicht 3/2 sonder 3/4 und das gleich dann natürlich in der Wurzel.

2x⁴-3x²-20=0

z:=x²

=> 2z²-3z-20=0 | :2

z²-(3/2)z-10=0

p/q-Formel anwenden
z_1,2=(3/4)+-√((3/4)²+10)=(3/2)+-√((9/16)+10)=(3/2)+-√((9/16)+160/16)=(3/2)+-√(169/16)=(3/4)+-13/4

=> z_1=(3/4)+13/4=16/4=4 und z_2=(3/4)-13/4=-5/2

durch rücksubstitution folgen dann die Lösungen von JotEs

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Immer wieder gerne - und übrigens:

Herzlich Willkommen hier bei Mathelounge

(sofern ich das als 3-Monatiger schon sagen darf ... :-) )

Answer 3

Ohne z und ohne p,q:

\(2x^4-3x^2-20=0\)

\(x^4-\frac{3}{2}x^2=10\)

\((x^2-\frac{3}{4})^2=10+\frac{9}{16}=\frac{169}{16}\)

1.) \(x^2-\frac{3}{4}=\frac{13}{4}\)

\(x^2=4\)

\(x₁=2\)

\(x₂=-2\)

2 Lösungen ∈ ℝ

2.) \(x^2-\frac{3}{4}=-\frac{13}{4}\)

\(x^2=-2,5=2,5i^2\)

\(x₃=i*\sqrt{2,5}\)

\(x₄=-i*\sqrt{2,5}\)

2 Lösungen ∈ ℂ

Comments

Der Gralshüter der quadratischen Ergänzung hat einen Beitrag von 2013 gepimpt.

;-)