Matrizenmultiplikation mit einem Vektor

Question

Hallo Leute,

könnte mir jemand bei folgender Aufgabe weiterhelfen:

Matrix R soll mit dem Vektor r multipliziert werden

$$R= \begin{pmatrix} cosa & -sina \\ sina & cosa \end{pmatrix} $$

$$\vec{r} = (x,y)^{t}$$

Vorab vielen Dank für eure Hilfe.

Gruß,

IceTeX

Answer 1

Aloha :)

Denke dir die Komponenten des Vektors über die Spalten der Matrix geschrieben:$$\phantom=\left(\begin{array}{rr}\cos \alpha & -\sin\alpha\\\sin\alpha & \cos\alpha\end{array}\right)\binom{x}{y}=\pink{\left(\begin{array}{cc}x\cdot & y\cdot\\\hline\cos \alpha & -\sin\alpha\\\sin\alpha & \phantom-\cos\alpha\end{array}\right)}=x\cdot\binom{\cos\alpha}{\sin\alpha}+y\cdot\binom{-\sin\alpha}{\cos\alpha}$$$$=\binom{x\cos\alpha-y\sin\alpha}{x\sin\alpha+y\cos\alpha}$$

Das Pinke schreibst du nicht hin. Das macht dein Gehirn zukünftig automatisch, wenn deine Augen eine Matrix-Multiplikation sehen ;)

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Hallo vielen Dank für deine schnelle Antwort und den hilfreichen Tipp.

Eine weitere Frage hätte ich, wie kann ich die Matrix R auf Orthogonalität und auf Symmetrie/Antisymmetrie prüfen?

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Wenn du die Spalten einer Matrix \(R\) als Zeilen in eine andere Matrix schreibst, erhältst du die sogenannte transponierte Matrix \(R^T\).

Eine Matrix ist symmetrsich, wenn \(R^T=R\) gilt.

Eine Matrix ist anti-symmetrsich, wenn \(R^T=-R\) gilt.

Eine Matrix ist orthogonal, wenn \(R^T=R^{-1}\) gilt, bzw. wenn \(R^T\cdot R=\mathbf1\) gilt.

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Danke dir für die schnelle Hilfe

Answer 2

\(R= \begin{pmatrix} cosa & -sina \\ sina & cosa \end{pmatrix} \)

\(\vec{r} = (x,y)^{t} = \begin{pmatrix} x\\  y \end{pmatrix}    \)

Also ist das

\( \begin{pmatrix} cosa & -sina \\ sina & cosa \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x\\  y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x*cos(a)-y*sin(a)\\  x*sin(a)+y*cos(a) \end{pmatrix} \)

Comments

Hallo,

auch dir ein Dankeschön für das Beantworten der Frage.