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Aufgabe:

Über dem Körper GF(2) werden die Matrizen

\(A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}\)  und \(B = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\)

betrachtet.

(1) Berechnen Sie, falls möglich: \( A^{T} \cdot A\), \( B^{T} \cdot B\), \( B^{2}\), \( B \cdot A\), \( A \cdot B\)

(2) Bestimmen Sie alle \(\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \in GF(2)^3\), für die gilt:

\( A \cdot A^{T}  \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = B\)

Problem/Ansatz:


(1) Wenn ich die Rechenregel in GF(2) richtig verstanden habe, sollten


\( A^{T} \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}\)


\( B^{T} \cdot B = 0\)


\( B^{2}\) und \( B \cdot A\) nicht definiert (da Zeilenanzahhl der zweiten Matrix ungleich Spaltenanzahl der ersten) und


\( A \cdot B = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1  \end{pmatrix}\) 


sein. Stimmt das soweit?


(2) Was genau heißt \(GF(2)^3\)

Ich habe mir hier erstmal \( A \cdot A^T = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\) berechnet. Ist das korrekt?

Nächster Schritt ist einen Vektor \(\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\) zu finden, der die Gleichung wahr werden lässt. Dazu habe ich einfach das folgende LGS aufgestellt:

I \(x + y + z = 1\)

II \(x + y = 0\)

III \(x  = 1\)

Damit ergibt sich direkt folgende Lösung: \(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\)

Ich find allerdings keine weiteren, vermute aufgrund der Fragestellung aber weitere Lösungen. Vielleicht hab ich aber auch einfach einen Denkfehler, weil ich nicht weiß, was \(GF(2)^3\) bedeutet und/oder ich die GF(2)-Mathematik doch nicht verstanden habe.

Würde mich sehr freuen, wenn jemand mal drüber schaut und mir Rückmeldung zu meinen Lösungen und Fragen geben würde. Danke vorab dafür.

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Beste Antwort

Hallo

für A^TA hab ich in der letzten Zeile nur 1 en,

zur Sicherheit benutze https://matrixcalc.org/de/

du musst am Ende in F2 umrechnen.

das hoch 3 bedeutet einfach dass man in einem 3 d Raum  von F2 ist. also entsprechend wie von R nach R^3

der Rest scheint richtig

Gruß lul

Avatar von 108 k 🚀

erstmal danke für Eure Antworten.

zu (1) ja, \( A^T·A \) war ein Copy-Paste-Fehler. 3. Zeile enthält nur 1

zu (2) ich glaube, ich habe es verstanden: \( GF(2)^3 \) bedeutet sozusagen, dass ich GF(2) in dem Sinne erweitere, dass ich aus den bloßen Elementen 0 und 1 die Elemente (0 0 0), (0 0 1),...,(1 1 0), (1 1 1) generiere, oder? somit hätte ich acht Tripel, die potentiell die gegebene Gleichung erfüllen könnten. tatsächlich führt aber nur das Tripel (1 1 1) zu einer wahren Aussage, sodass meine ursprüngliche Intuition, dass es mehrere Lösungen gibt, falsch war und ich die Lösung schon gefunden hatte, oder?

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Was genau heißt \(GF(2)^3\)


Du weißt doch sicher auch, was die Symbolik "ℝ³" bedeutetet? Wenn man Lösungen im ℝ³ sucht, sucht man Tripel von reellen Zahlen (x,y,z).

Hier sucht man eben Tripel von Zahlen (x,y,z) aus  \(GF(2)\).


vermute aufgrund der Fragestellung aber weitere Lösungen.

"Finde alle Lösungen ..." wird auch ganz bewusst da verwendet, wo es nur genau eine oder gar keine Lösungen gibt. So will man vermeiden, dass schon aufgrund der Fragestellung von Schüler/Student gewisse mögliche Fälle von vorn herein ausgeschlossen werden.

Avatar von 55 k 🚀

auch Dir vielen Dank.

\( GF(2)^3 \) bedeutet sozusagen, dass ich GF(2) in dem Sinne erweitere, dass ich aus den bloßen Elementen 0 und 1 die Elemente (0 0 0), (0 0 1),...,(1 1 0), (1 1 1) generiere, oder? somit hätte ich acht Tripel, die potentiell die gegebene Gleichung erfüllen könnten. tatsächlich führt aber nur das Tripel (1 1 1) zu einer wahren Aussage, sodass meine ursprüngliche Intuition, dass es mehrere Lösungen gibt, falsch war und ich die Lösung schon gefunden hatte, oder?

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