Aufgabe:
Über dem Körper GF(2) werden die Matrizen
\(A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}\) und \(B = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\)
betrachtet.
(1) Berechnen Sie, falls möglich: \( A^{T} \cdot A\), \( B^{T} \cdot B\), \( B^{2}\), \( B \cdot A\), \( A \cdot B\)
(2) Bestimmen Sie alle \(\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \in GF(2)^3\), für die gilt:
\( A \cdot A^{T} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = B\)
Problem/Ansatz:
(1) Wenn ich die Rechenregel in GF(2) richtig verstanden habe, sollten
\( A^{T} \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}\)
\( B^{T} \cdot B = 0\)
\( B^{2}\) und \( B \cdot A\) nicht definiert (da Zeilenanzahhl der zweiten Matrix ungleich Spaltenanzahl der ersten) und
\( A \cdot B = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\)
sein. Stimmt das soweit?
(2) Was genau heißt \(GF(2)^3\)
Ich habe mir hier erstmal \( A \cdot A^T = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\) berechnet. Ist das korrekt?
Nächster Schritt ist einen Vektor \(\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\) zu finden, der die Gleichung wahr werden lässt. Dazu habe ich einfach das folgende LGS aufgestellt:
I \(x + y + z = 1\)
II \(x + y = 0\)
III \(x = 1\)
Damit ergibt sich direkt folgende Lösung: \(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\)
Ich find allerdings keine weiteren, vermute aufgrund der Fragestellung aber weitere Lösungen. Vielleicht hab ich aber auch einfach einen Denkfehler, weil ich nicht weiß, was \(GF(2)^3\) bedeutet und/oder ich die GF(2)-Mathematik doch nicht verstanden habe.
Würde mich sehr freuen, wenn jemand mal drüber schaut und mir Rückmeldung zu meinen Lösungen und Fragen geben würde. Danke vorab dafür.
