Differentialgleichung mit Hilfe der Laplace-Transformation

Question

Aufgabe:

Lösen Sie folgende Differentialgleichung mit den gegebenen Anfangswerten mithilfe der Laplace -Transformation:

\( t x^{\prime \prime}(t)-(t-1) x^{\prime}(t)-2 x(t)=0, x(0)=1, x^{\prime}(0)=2 \)

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen?? Danke im Voraus.

Answer 1

Verwende die folgende Rgel

$$ \mathcal{L} \{ t^n f(t) \} = (-1)^n F^{(n)}(s) $$

Dann wird Deine Dgl. zu

$$ -\frac{d}{ds} \left( s^2 X(s) - s \cdot x(0) - x'(0) \right) + \frac{d}{ds} \left( s X(s) - x(0) \right)  + \left( s X(s) - x(0) \right) - 2 X(s) = 0 $$

Vereinfachen und zusammenfassen gibt

$$  \frac{d}{ds} X(s) = - \frac{s+1}{s(s-1)} X(s) $$ Lösen dieser Dgl. ergibt

$$ \ln(X(s)) = -2 \ln(s-1) + \ln(s) + C $$ und daraus folgt

$$ X(s) = A \frac{s}{(s-1)^2} = A \left( \frac{1}{s-1} + \frac{1}{(s-1)^2}  \right) $$

Rücktransformation ergibt

$$ x(t) = A \left( e^t + t e^t \right) $$ und wegen der Anfangsbedingung folgt \( A = 1 \)