Zeige, dass a das Produkt von höchstens bzw genau 2 irreduziblen Gausschen Zahlen ist.

Question

Sei a aus Z[i] und N(a)=pq, wobei p und q verschiedene Primzahlen sind. Zeige, dass a das Produkt von höchstens bzw genau 2 irreduziblen Gausschen Zahlen ist.

Ich komme bisher nur dazu, dass es das Produkt von mindestens 2 Gausschen Zahlen ist und bin mir nicht sicher, an welcher Stelle mein Fehler beginnt oder ob mir jetzt nur noch fehlt, dass es das Produkt von höchstens 2 ist und wie ich das zeige. Ich freue mich sehr über Hilfe!

Answer 1

Wäre $a=bcd$ mit Nichteinheiten $b,c,d$, dann ergäbe sich

$pq=N(a)=N(b)N(c)N(d)\quad(*)\quad$ mit $N(b),N(c),N(d)>1$.

Dies widerspricht der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung der beiden

Seiten von $(*)$.