Hallöchen an alle,
Ich habe heute eine Aufgabe, bei der ich nicht sicher bin, ob meine Ansätze schlüssig oder gar richtig sind.
Folgendes wird gefragt:
1. Sei K ein Körper; a,b ∈ K. Folgern Sie, dass aus a*b=0 bereits a=0 oder b=0 folgt.
2. Folgern Sie, dass ein x ∈ K genau dann (x - a)(x - b) = 0 erfüllt, wenn x ∈ {a,b}
3. Sei nun konkret K = Körper der komplexen Zahlen : Berechnen Sie (x + i)(x - i). Zeigen Sie, dass ein x∈K genau dann x^2 = 1 erfüllt, wenn x ∈ {i,-i}
Gegeben sei nun: f : C → C mit f(a)=a für alle a ∈ R; f(a+b) = f(a) + f(b) und f(a*b)=f(a)*f(b) für alle a,b ∈ C
4. Zeigen Sie, dass f(i) ∈ {i,-i}
5. Zeigen Sie, dass f=id(C) oder f ist durch f(a+ib)=a-ib) (mit a,b ∈ R) gegeben.
Meine Ansätze:
Zu 1.: Annahme: a*b = 0. Sei a=0, dann gilt: a*b = 0 * b = (0+0)*b = b*0 + b*0 = 0 und Sei b = 0, dann gilt: a*b=a*0=a*(0+0)=a*0+a*0 = 0
Zu 2.: Sei x = a => (x-a)(x-b) = x^2-x*b-x*a+a*b=a^2-a*b-a^2+a*b = 0; Sei x = b =>(x-a)(x-b) = x^2-x*b-x*a+a*b=b^2-b^2-b*a+a*b = 0
Zu 3-5 habe ich, muss ich gestehen, keine richtigen Ansätze. Ich hatte die Hoffnung, dass ihr mir bei diesen Beweisen weiterhelfen könntet :)
Ich bedanke mich schonmal für eure Antworten und Hilfestellungen :)
