Eine Aufgabe zur Wohldefiniertheit?

Question

Text erkannt:

2. Zeigen Sie analog, dass auch die Verknüpfung:
\( \begin{aligned} \therefore: \mathbf{Q} \times \mathbf{Q} & \rightarrow \mathbb{Q} \\ \left(\frac{a}{b}, \frac{c}{d}\right) & \mapsto \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}:=\frac{a c}{b d} . \end{aligned} \)
wohldefiniert ist.

Kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen wäre sehr Dankbar

Answer 1

\(\frac{a}{b}=\frac{a'}{b'}\wedge\frac{c}{d}=\frac{c'}{d'}\iff\)

\(ab'=a'b \wedge cd'=c'd\). Multiplikation der Gleichungen:

\(ab'cd'=a'bc'd\), also \((ac)(b'd')=(a'c')(bd)\), daher

\(\frac{ac}{bd}=\frac{a'c'}{b'd'}\)