Algebrenhomomorphismus Verständnis an Aufgabe

Question

ich bin mir überhaupt nicht sicher ob ich die K-Algebren richtig verstanden habe, deshalb die Frage an einer Aufgabe.
Würde mich freuen wenn man mir die K-Algebren nochmals etwas erklärt.

Aufgabe:

Überprüfen Sie jeweils, ob es einen Q-Algebrenhomomorphismus f : Q[X] → Q[X] mit den angegebenen Eigenschaften gibt!
a) Es gilt f(X) = −X und f(X^2) = X^2
b) Es gilt f(X) = X und f(X^2) = −X^2
c) Es gilt f(X) = 2019 · X^3
d) Es gilt f(X^3) = X

Problem/Ansatz:

a) mit * := Q x Q[X] -> Q[x]  als normale Multiplikation

f(x^2)=f(x)*f(x)=(-x)(-x)=x^2

also hier nichts ausgeschlossen, durch nachrechnen erkennt man das Q[X] eindeutig ein Ring und ein Q-VR ist, bleibt also nachzuweisen das f ein VR-Homom. und ein Ringhomom. ist.

Also: zz. a,b ∈ Q[X], g∈Q bel. :  f(a+b)=f(a)+f(b); f(g*a)=g*f(a); f(a*b)= f(a)*f(b);
das ist auch einfach durchzurechnen und es passt.

b) f(X^2)=f(X)*f(X)=X*X=X^2≠-X^2 damit geht es mit dieser Forderung schon hier kaputt oder?

Ich habe keine Ahnung ob ich das richtig verstanden habe.

MfG

Answer 1

Ist \(K\) ein Körper, \(X\) eine Unbestimmte.

Dann gibt es zu jeder \(K\)-Algebra \(L\) und jedem \(a\in L\)

genau einen \(K\)-Algebrahomomorphismus

\(f:K[X]\rightarrow L\) mit \(f(X)=a\).

Das ist eine sogenannte "universelle Eigenschaft"

von \(K[X]\)

In der Aufgabe wird speziell \(L=K[X]\) genommen mit \(K=\mathbb{Q}\).

a) \(f(X)=-X\) liefert \(f(X^2)=f(X)^2=(-X)^2=X^2\), ist also konsistent.

b)\(f(X^2)=f(X)f(X)=X^2\neq -X^2\) , liefert also keinen Alg-Homom.

c) Hier wird keine Bedingung gefordert, ist also OK.

d)\(X=f(X^3)=f(X)^3\). Hier liegt \(f(X)\) nicht in der Zielalgebra.