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Übungsaufgabe \( \quad \) Sei nun \( \mathbb{F}_{4}:=\mathbb{F}_{2}[X] /\left(X^{2}+X+1\right) \) der Körper von Präsenzaufgabe 2 auf Blatt 4 .
1. Zeigen Sie, dass \( \mathbb{F}_{4} \) ein 2-dimensionaler \( \mathbb{F}_{2} \)-Vektorraum ist.
2. Zeigen Sie, dass
\( \begin{aligned} \Phi: \mathbb{F}_{4} & \rightarrow \mathbb{F}_{4} \\ x & \mapsto x^{2} \end{aligned} \)
ein Ringisomorphismus ist.
3. Sei \( x \in \mathbb{F}_{4} \). Zeigen Sie, dass \( x \in \mathbb{F}_{2} \) genau dann wenn \( \Phi(x)=x \).
