Quotientenmenge: Ich komme mit dieser Aufgabe leider überhaupt nicht weiter

Question

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Aufgabe IV.2 \( (2+4+4=10 \) Punkte):
i) Sei \( \mathbb{Z} / m \mathbb{Z} \) mit \( m \in \mathbb{N}^{*} \) die Quotientenmenge für die Kongruenz modulo \( m \) auf \( \mathbb{Z} \) und sei \( [i] \in \mathbb{Z} / m \mathbb{Z} \) die Äquivalenzklasse von \( i \in \mathbb{Z} \). Für \( k \in \mathbb{Z} \), beweisen Sie, dass die Abbildung
\( f_{k}: \mathbb{Z} / m \mathbb{Z} \longrightarrow \mathbb{Z} / m \mathbb{Z}, \quad[i] \longmapsto[k \cdot i] \)
wohldefiniert ist, d.h. die Definition von \( f_{k} \) ist unabhängig von der Wahl des Repräsentanten \( i \) der Äquivalenzklasse [i].
ii) Mit Notationen wie im Teil i) dieser Aufgabe, sei \( m=15 \) und \( k=2 \). Beweisen Sie, dass \( f_{2} \) bijektiv ist.
iii) Mit Notationen wie im Teil i) dieser Aufgabe, sei \( m=15 \) und \( k=3 \). Beweisen Sie, dass \( f_{3} \) nicht bijektiv ist.

Comments

Wohldefiniertheit: [i] =[j]  d.h. i-j = n*m

Wende fk darauf an dann f(i-j) = k(i-j) = kn*m

Und das ist äquivalent zu [ki] =[kj]

Also wohldefiniert.

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Injektiv. Sei x aus Ker fk, dann wird f[x] auf [0] abgebildet. Das ist gleichbedeutend mit [2*x] =[0]

und das bedeutet 2x=n*15 damit muss n eine Gerade Zahl sein also n=2s und damit 2x=2s15.aber damit gilt schon x=s*15 und somit [0]=[x]. Also hier kann man einfach argumentieren dass 2 und 15 teilerfremd sind :)

Versuch doch mal an der surjektivitat.