Beweisen von Quotientenmengen

Question

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Aufgabe IV.1 (10+10=20 Punkte):
i) Sei \( X \) eine endliche Menge mit \( \#(X)=n \) und sei \( \sim \) die Äquivalenzrelation auf der Potenzmenge \( \mathcal{P}(X) \) definiert durch
\( Y \sim Z \stackrel{\text { Def }}{\Longleftrightarrow}(Y \text { und } Z \text { sind gleichmächtig }) \)
für alle \( Y, Z \subset X \). Sei \( \mathcal{P}(X) / \sim \) die Quotientenmenge. Beweisen Sie, dass
\( \#(\mathcal{P}(X) / \sim)=n+1 \text {. } \)
ii) Mit Notationen wie im Teil i) dieser Aufgabe, sei \( X=\mathbb{Q} \) die (unendliche) Menge der rationalen Zahlen. Beweisen Sie, dass die Quotientenmenge \( \mathcal{P}(\mathbb{Q}) / \sim \) abzählbar ist.

Answer 1

\( \#(\mathcal{P}(X) / \sim)=n+1 \text {. } \)

Hier geht es doch um die Anzahl der Äquivalenzklassen.

In einer Klasse sind alle Teilmengen von X, die die gleiche Elementezahl haben.

Es gibt also die 0-elemntigen (Da ist nur die leere Menge drin.)

die 1- elementigen

die 2-elementigen

....

Die n-elememtigen ( also X selber)

Das sind n+1 Stück.