Verknüpfungen bei Quotientenmengen untersuchen

Question

Aufgabe:

Für n ∈ N betrachten wir die Quotientenmenge Z/nZ und die Abbildung
⊕ : Z/nZ × Z/nZ → Z/nZ, ([a], [b]) |→ [a + b].
(i) Zeigen Sie, dass ⊕ wohldefiniert ist, d.h., dass ⊕ unabhängig von den ausgewählten
Aufgabe 3.1.
Repräsentanten ist.
(ii) Zeigen Sie, dass (Z/nZ, ⊕) eine kommutative Gruppe ist.

Problem/Ansatz:

Für den Aufgabenteil ii) muss ich ja wahrscheinlich zeigen, dass a⊕b=b⊕a ist für alle a, b ∈Z/nZ sind

Und bei i) hab ich keine konkrete Vorstellung was ich eigentlich genau machen muss.

Comments

Du musst zeigen:

[a]=[a'] und [b]=[b']=> [a+b]=[a'+b']

Answer 1

Zeigen Sie, dass ⊕ wohldefiniert ist, d.h., dass ⊕ unabhängig von den ausgewählten
Repräsentanten ist. Dabei bedeutet

"unabhängig von den ausgewählten Repräsentanten":

Wenn a und a' Repräsentanten der 1. Klasse und
b und b' Repräsentanten der 2. Klasse sind, dann
ist es egal, welche der Repräsentanten man zum

Addieren nimmt. a+a' ergibt die gleiche Klasse wie

b+b' .  Kurz formuliert in dem Tipp:

 [a]=[a'] und [b]=[b']=> [a+b]=[a'+b'].

Seien also [a]=[a'] und [b]=[b']

dann bedeutet ja hier die Gleichheit der

Klassen, dass die Differenz der Repräsentanten

Vielfaches von n sind , also kurz

a-a' ∈ nℤ und b-b' ∈ nℤ.

Dann ist die Summe auch Vielfaches von n, also

(a-a') +( b-b' ) ∈ nℤ

==>  (a+b) - (a'+b') ∈ nℤ.

D.h. a+b und a'+b' sind Repräsentanten der

gleichen Klasse. q.e.d.

Für b) musst du die Gruppenaxiome prüfen.