(i) Sei V ⊆ H eine Untergruppe. Dann gilt eH ∈ V
und wegen φ(eG)= eH ist also eG ∈ φ-1 (V ).
Bleibt zu zeigen (Untergruppenkriterium), dass für
alle x∈ φ-1 (V ) auch -x∈ φ-1 (V ) gilt.
Sei also x∈ φ-1 (V ). Dann gibt es y∈V mit φ(x)=y.
Da V eine Gruppe ist, gilt auch y-1 ∈V und
damit φ-1(y-1) ∈ φ-1 (V ) .
Also y⊙y-1 = eH ==> φ(x)⊙y-1 = eH .
Also ist y-1 das Rechtsinverse von φ(x) in H
und damit φ-1(y-1) das Rechtsinverse von x in G
also φ-1(y-1) = -x . Mit y-1⊙y = eH analog
für die Linksinversen.