Polynomdivision durchführen

Question

Aufgabe:

Polynomdivision (\( x^{2} \) + 4 x - \( a^{2} \) - 4a) / (x-a)

Geht im Prinzip ums Ableiten. Habe die Ableitungsregeln nun gehabt und das ist soweit klar. Ich wollte die Aufgabe aber mit der xo Methode lösen. Ich habe es so kennengelernt: Ist f eine ganzrationale Funktion n ten Grades und xo Nullstelle des Polynoms so lässt sich der Linearfaktor in der Form (x-xo) abspalten, immer ohne Rest. ( Hier (x-a) ).

Das habe ich hier aber leider nicht geschafft.

Ich bin bis: = x + 4 + a

Gekommen. Danach entsteht ein Rest (4a + \( a^{2} \) / (x-a).

Answer 1

Aloha :)$$\phantom=\frac{\green{x^2}+4x\green{-a^2}-4a}{x-a}=\frac{(\green{x^2-a^2})+(4x-4a)}{x-a}=\frac{\overbrace{\green{(x+a)\cdot(x-a)}}^{\text{3-te binomische Formel}}+4\cdot(x-a)}{x-a}$$$$=\frac{(x+a)\cdot\pink{(x-a)}+4\cdot\pink{(x-a)}}{x-a}=\frac{(\;(x+a)+4\;)\cdot\pink{(x-a)}}{x-a}=x+a+4$$Es bleibt kein Rest, das geht glatt auf ;)

Comments

Hallo :) Vielen Dank für die Antwort. Das ist auch eine gute Methode. Könntest du mir auch sagen wie die Polynomdivision aufgehen würde, bzw. wieso sie nicht aufgeht?

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\( \begin{aligned} & x^{2}+4 x-x_{0}^{2}-4 x_{0}:\left(x-x_{0}\right)=x+4+x_{0}+\left(\begin{array}{c}4 x_{0}+x_{0}^{2} \\ x-x_{0}\end{array}\right) \\-&\left(x^{2}-x_{0} x\right) \\ & 4 x+x_{0} x \\-\left(4 x-4 x_{0}\right) \\ & x_{0} x+4 x_{0} \\-\left(x_{0} x-x_{0}^{2}\right) \\ & 4 x_{0}+x_{0}^{2} \end{aligned} \)

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Die Polynomdivision geht auf. Du musst dich unterwegs verrechnet haben:

$$\;\;(x^2+4x-a^2-4a)\div(x-a)=\red x+\green{a+4}$$$$\!-(\red{x^2}\red{-ax})$$$$\;\;\;ax+4x-a^2-4a$$$$\!-(\green{(a+4)x-(a+4)a})$$$$\;\;0$$