Ist meine Lösung so richtig?

Question

Aufgabe:

Bin mir unsicher bei dem Beweis. Ist meine Lösung so richtig?

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

(c) \( f^{-1}(A \cap B)=f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B) \) for alle \( A, B \leqslant N \)
\( x \in f^{-1}(A \cap B) \quad f^{-1}(A \cap B) \leq f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B) \quad f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B) \subseteq f^{-1}(A \cap B) \)
\( \Rightarrow f^{-1}(y) \in f^{-1}(A) \wedge f^{-1}(y) \in f^{-1}(y) \cap f^{-1}(B) \)
\( \Rightarrow f^{-1}(y) \in f^{-1}(A) \)
\( \Rightarrow x \in f^{-1}(A) \cap x \in f^{-1}(B) \)
\( \Rightarrow \quad \exists y \in A \wedge y \in B \)
mit \( f^{-1}(y)=x \)
\( \Rightarrow y \in A \cap B \)
\( \Rightarrow x \in f^{-1}(A \cap B) \)

Answer 1

Hallo,

deine Ideen sind dir Richtigen, allerdings ist die Notation nicht so gut.
Ich denke mal \(f\) ist hier eine allgemeine Funktion und keine Bijektion. In dem Fall solltest du nicht so etwas wie \(f^{-1}(y)=x\) schreiben, aus mehreren Gründen. Zum einen betrachtet man streng genommen Urbilder von Mengen, d.h. man sollte besser \(f^{-1}(\{y\})\) schreiben. Oftmals trifft man aber die Vereinbarung, dass man statt \(f^{-1}(\{y\})\) auch \(f^{-1}(y)\) scheiben kann (ich weiß natürlich nicht ob ihr das dürft).
Viel wichtiger ist, dass die Urbilder auch wieder Mengen sind, d.h. \(f^{-1}(\{y\})\) ist eine Menge und daher ist \(f^{-1}(\{y\})=x\) falsch. Was du meinst ist \(x\in f^{-1}(\{y\})\). (Es kann aber z.B. \(f^{-1}(\{y\})=\{x\}\) sein).

Auf der rechten Seite hast du geschrieben \(\exists y\in A\,\land\,y\in B\) besser wäre \(\exists y(y\in A\,\land\,y\in B)\). Vielleicht solltest du da auch noch genauer begründen, warum es so ein \(y\) gibt (du kannst es sogar angeben, probiere mal \(f(x)\)). Dasselbe Problem gibt es auch nochmal in der Mitte.

Wenn du die Notationen verbesserst, sollte der Beweis stimmen.

(Anmerkung: Man kann den Beweis etwas abkürzen aber darauf wollte ich jetzt nicht eingehen, da es wichtiger ist deinen eigenen Beweis einmal richtig aufzuschreiben)

LG Dojima