Vor mir liegt eine Lösung für einen Satz, meine Frage: ist die Lösung gültig?

Question

Aufgabe:

Vor mir liegt eine Lösung für einen Satz, meine Frage: ist die Lösung gültig ?

Problem/Ansatz

ist x∈X eine endliche Menge so sind für eine Abbildung ƒ: X→X folgende Bedingungen äquivalent:

1- ƒ ist Injektiv

2- ƒ ist surjektiv

  Beweis:

Erst: 1 ⇒ 2

∀x∈X mit (x₁,x₂...x_n)∈X ƒ(x) ist Injektiv, weil x_1,x_2...x_n =ƒ(x₁,x₂ ....x_n) = x₁,x₂...x_n ∈X dann folgt nach der Defi. von 2 ƒ(x) ist surjektiv mit ƒ(x)=x ∈X

zweite: 2⇒1

∀x∈X ƒ(x)  ist surjektiv, weil die Vorgaben  (x₁,x₂...x_n) ↦ ƒ(x₁,x₂...x_n) mit ƒ(x)=x lauten, dann folgt nach der Defi von 1 ƒ(x) ist Injektiv.

weil 1 ⇒ 2 und 2⇒1 dann sind Bedingungen äquivalent

Answer 1

Ich würde es eher mit ein paar Worten versuchen. Bei dir sieht das so aus

als habe die Funktion den Definitionsbereich  M^n .

Etwa so geht es doch: Ist f eine Funktion f:M→M und M hat n Elemente, dann ordnet die Abbildung  f jedem Element genau ein Element aus M zu. Ist f injektiv, dann sind die n Bilder paarweise verschieden, es gibt also keine zwei gleichen Bilder und somit genauso viele verschiedene Bilder wie Urbilder, und zwar von beiden n Stück, also kommen alle Elemente von M als Bilder dran , mithin ist f surjektiv.

Die Gegenrichtung durch Widerspruch: Ist f nicht injektiv, dann haben zwei Urbilder dasselbe Bild. Dann bleiben aber nicht genug Urbilder übrig, um durch f alle Elemente von M als Bild zu erreichen, also ist f nicht surjektiv.