Frage zur vollständigen Induktion bei Ungleichungen: 2^n ≤ n! zeigen, wo gültig.

Question

Hallo an alle! Bin im Mathestudium 1. FS und stehe vor eine Aufgabe, wo ich einfach nicht mehr weiterkomme.

-> Unterscheiden Sie, für welche natürlichen Zahlen die Ungleichung

2^n </= n!

besteht und beweisen Sie Ihre Aussage.

Für die n=0 geht die Ungleichung auf ab n>/= 4  wieder. Nun ist die Frage, wie ich hier die vollständige Induktion durchführe. Bisher habe ich nicht viel und hänge bei dem Beweis der Induktionsbehauptung welche lautet:

2 ^ (n+1) < / = (n+1) !

Nur wie beweise ich das?  

Answer 1

2^{n+1} = 2 * 2^n ≤ 2*n! ≤(n+1)*n! = (n+1)!

da n ≥ 4 und 2^n ≤ n! nach IV.

Gruß

Comments

Kannst du das noch etwas wörtlich erklären? Ich möchte das so gerne verstehen und nicht einfach nur die Lösung abschreiben :(

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Welchen Schritt in der (Un)gleichungskette verstehst du denn nicht?

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Den Mittelteil, wo du 2*2^n <\= 2*n <\= (n+1)*n! Machst...

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Du hast doch nach Induktionsvoraussetzung als Argumentationsbasis für den Induktions-Schritt, dass

2^n ≤ n! gilt.

Dann gilt auch

2*2^n ≤ 2*n!

Da du nur n ≥ 4 betrachtest ist insbesondere n+1 ≥ 2 und somit

2*n! ≤ (n+1)*n! = (n+1)!

und deswegen

2*2^n ≤ (n+1)!

Insgesamt ist somit gezeigt, dass

2^{n+1} ≤ (n+1)!

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Aber ich verstehe einfach nicht, wie du auf die 2*n! kommst.

Aus 2^n+1 ergibt sich per Definition: 2 * 2^n Das ist klar, aber wieso ergibt sich aus "n!" 2*n! ? Und ich verstehe nicht, wie mir dieses 2*n! hilft, um das zu beweisen ?

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Wenn a ≤ b gilt, dann gilt auch 2a ≤2b.