Hallo
Könnte mir jemand mit folgender Aufgabe zur vollständigen Induktion helfen?
Ich soll beweisen, dass folgende Ungleichung für alle n ∈ℕ mit n≥1 gilt.
$$ \sum _{ I=1 }^{ n }{ \frac { 1 }{ \sqrt { i } } } \ge \sqrt { n } $$
Ich habe die Aufgabe folgendermaßen versucht zu machen.
Induktionsanfang: für n=1
$$ \sum _{ I=1 }^{ 1 }{ \frac { 1 }{ \sqrt { i } } } =\frac { 1 }{ 1 } =1=\sqrt { 1 } \\ $$
Induktionsvoraussetzung:
Die Behauptung gilt für ein beliebiges n ∈ℕ
Induktionsschritt:
n→n+1
zu beweisen ist:
$$ \sum _{ I=1 }^{ n+1 }{ \frac { 1 }{ \sqrt { i } } } \ge \sqrt { n+1 } \\ $$
IS:
$$ \sum _{ I=1 }^{ n+1 }{ \frac { 1 }{ \sqrt { i } } } \\ = \sum _{ I=1 }^{ n }{ \frac { 1 }{ \sqrt { i } } +\quad \frac { 1 }{ n+1 } } \\ $$
nach IV gilt
$$ ≥ \sqrt { n } +\quad \frac { 1 }{ \sqrt { n+1 } } \ge \quad \sqrt { n+1 } \\ $$
Somit ist wäre die Behauptung bewiesen.
Habe die Aufgabe richtig gelöst? oder soll man die anders angehen?
Ich habe irgendwie das Gefühl, dass da irgendwas fehlt.