Wichtige Frage zur vollständigen Induktion !

Question

Zeigen Sie mit vollständiger Induktion die folgende Teilbarkeitsregel: Sei ℕ ∋ a > 1.

Dann ist aⁿ − 1 für alle n ∈ N durch a − 1 teilbar.

Answer 1

Induktionsanfang ist klar.
Die Behauptung gelte für ein  n. Dann existiert ein  K ∈ ℕ  mit  aⁿ - 1 = K·(a - 1).
aⁿ⁺¹ - 1 = a·aⁿ - 1 = a·(aⁿ - 1 + 1) - 1 = a·(aⁿ - 1) + a - 1 = a·K·(a - 1) + (a - 1)
aⁿ⁺¹ - 1 = (a·K + 1)·(a - 1).