Aufgabe zur vollständigen Induktion (Teilbarkeit)

Question

Aufgabe: Für ∀n ∈ N0 : 6|(2n^3 + 4n) soll mithilfe der vollständigen Induktion bewiesen werden.

Problem/Ansatz:

Ich komme bis zum Induktionsschritt, habe aber trotz ausklammern und zusammenfügen kein Ergebnis raus, was mir den Beweis zeigt

Answer 1

2(n+1)³+4(n+1) kann man durch Ausmultiplizieren auf die Form

2n³+6n²+6n+2 + 4n + 4

bringen

Dabei wissen wir aus der Ind,-Voraussetzung, dass der grün markierte Teil durch 6 teilbar ist. Kannst du zeigen, dass der hinzugekommene Anteil
6n²+6n+2 + 4
auch durch 6 teilbar ist?

Comments

Ich sehe gerade, dass ich mit anderen Zahlen gearbeitet habe. Mein Fehler..

Jetzt weiß ich auch, was zu tun ist. Dankeschön :)

Answer 2

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Wenn du den Term ein wenig umformst, wird die Teilbarkeit durch \(6\) sofort klar:$$2n^3\pink{+4n}=(2n^3\pink{-2n})\pink{+6n}=2n(n^2-1)+6n=2(n-1)n(n+1)+6n$$

Im ersten Term taucht der Faktor \(2\) und drei aufeinanderfolgende natürliche Zahlen als Faktoren auf, von denen also eine durch \(3\) teilbar sein muss. Daher ist der erste Term durch \(6\) teilbar. Der Term \(6n\) ist offensichtlich durch \(6\) teilbar.

Diese Zerlegung kannst du auch für den Induktionsschritt bei der vollständigen Induktion verwenden, die man dann aber eigentlich gar nicht mehr durchzuführen braucht ;)