2^n < n² für genau eine natürliche Zahl gültig (Vollständige Induktion)

Question

Aufgabe: Zeigen Sie (mit Hilfe der vollständigen Induktion), dass es genau eine
natürliche Zahl n ∈ N gibt mit  2^n < n².

Problem/Ansatz:

Für die vollständige Induktion zuerst einen Startwert finden:

-> n = 0,1,2,3 setzen . 3 erfüllt die Gleichung.

Mir ist bewusst, dass 4 die Gleichung schon wieder nicht erfüllt, da 16 = 16 ja ergibt und auch keine weitere Zahl n > 4 diese Gleichung erfüllt. Ich weiß jedoch leider nicht, wie ich mithilfe einer vollständigen Induktion diese Aufgabe lösen soll. Ist der richtige Ansatz für diese Aufgabe ein Widerspruchsbeweis, indem ich das < Zeichen umdrehe und somit

2^n > n² ab 4 beweise? Oder gibt es noch eine andere Möglichkeit?

MfG Bjarne

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge...

Wir zeigen zuerst: \(2^n>2n+1\) für \(n\ge3\quad(\ast)\)

a) Verankerung bei \(n=3\):$$2^n=2^3=8>7=2\cdot3+1=2\cdot n+1\quad\checkmark$$b) Induktionsschritt:$$2^{n+1}=2\cdot2^n\stackrel{\text{(Ind.Vor.)}}{>}2(2n+1)=4n+2=2n+(2n+2)$$$$\phantom{2^{n+1}}\stackrel{(n\ge3)}{>}2n+3=2(n+1)+1\quad\checkmark$$

Nun zeigen wir: \(2^n>n^2\) für \(n\ge5\)

a) Verankerung bei \(n=5\):$$2^n=2^5=32>25=5^2=n^2\quad\checkmark$$b) Induktionsschritt:$$2^{n+1}=2\cdot2^n=2^n+2^n\stackrel{(\text{Ind.Vor.})}{>}n^2+2^n\stackrel{(\ast)}{>}n^2+(2n+1)=(n+1)^2\quad\checkmark$$

Damit gilt also \(2^n>n^2\) für alle \(n\ge 5\). Die Ungleichung \(2^n<n^2\) kann also nur für \(n\le4\) gelten. Diese prüfen wir im Folgenden einzeln durch:$$n=4:\quad2^4<4^2\quad\text{FALSCH}$$$$n=3:\quad2^3<3^2\quad\text{WAHR}$$$$n=2:\quad2^2<2^2\quad\text{FALSCH}$$$$n=1:\quad2^1<1^2\quad\text{FALSCH}$$Die Ungleichung \(2^n<n^2\) gilt also tatsächlich nur genau für \(n=3\).

Comments

Vielen Dank :)

Answer 2

Hallo

ja für alle n>3 gilt 2^n>n^2

für die Induktion brauchst du noch n^2>2n+1 für n>3

Gruß lul

Comments

ja für alle n>3 gilt 2n>n².

Das ist leider falsch, da es ein Gegenbeispiel gibt.