a)
Vollständige Induktion: Σ (k = 1 bis n) (k^2) = 1/6·n·(n + 1)·(2n + 1)
Induktionsanfang: Wir zeigen, dass es für n = 1 gilt.
Σ (k = 1 bis n) (k^2) = 1/6·n·(n + 1)·(2·n + 1)
Σ (k = 1 bis 1) (k^2) = 1/6·1·(1 + 1)·(2·1 + 1)
1^2 = 1/6·2·3
1 = 1
Stimmt !
Induktionsschritt: Wir zeigen, dass es für n + 1 gilt, unter der Annahme, dass es für n gilt.
Σ (k = 1 bis n + 1) (k^2) = 1/6·(n + 1)·((n + 1) + 1)·(2·(n + 1) + 1)
Σ (k = 1 bis n) (k^2) + (n + 1)^2 = 1/6·(n + 1)·(n + 2)·(2·n + 3)
1/6·n·(n + 1)·(2·n + 1) + (n + 1)^2 = 1/6·(n + 1)·(n + 2)·(2·n + 3)
1/6·n·(2·n + 1) + (n + 1) = 1/6·(n + 2)·(2·n + 3)
1/3·n^2 + 1/6·n + n + 1 = 1/3·n^2 + 7/6·n + 1
1/3·n^2 + 7/6·n + 1 = 1/3·n^2 + 7/6·n + 1
b)
Σ (k = 1 bis n) (k^3) = (Σ (k = 1 bis n) (k))^2 = (n·(n + 1)/2)^2
Induktionsanfang:
1^3 = (1·(1 + 1)/2)^2
1 = 1
Induktionsschritt: Nun zeigen wir, dass es für n + 1 gilt, unter der Annahme dass es für n gilt.
Σ (k = 1 bis n) (k^3) + (n + 1)^3 = Σ (k = 1 bis n + 1) (k^3)
(n·(n + 1)/2)^2 + (n + 1)^3 = ((n + 1)·(n + 2)/2)^2
(n^2/2 + n/2)^2 + (n + 1)^3 = (n^2/2 + 3·n/2 + 1)^2
(n^4/4 + n^3/2 + n^2/4) + (n^3 + 3·n^2 + 3·n + 1) = (n^4/4 + 3·n^3/2 + 13·n^2/4 + 3·n + 1)
n^4/4 + 3·n^3/2 + 13·n^2/4 + 3·n + 1 = n^4/4 + 3·n^3/2 + 13·n^2/4 + 3·n + 1
Und für c) würde ich jetzt gerne deine Versuche sehen. Ich habe das ja jetzt an zwei Beispielen vorgemacht.