Weisen Sie nach, dass die folgenden Gleichungen für alle n ∈ ℕ gültig sind (vollständige Induktion)

Question

Aufgabe:

Weisen Sie nach, dass die folgenden Gleichungen für alle \( n \in \mathbb{N} \) gültig sind:

a) \( \sum \limits_{k=1}^{n} k^{2}=\frac{1}{6} n(n+1)(2 n+1) \)

b) \( \sum \limits_{k=1}^{n} k^{3}=\left(\sum \limits_{k=1}^{n} k\right)^{2} \)

c) \( \sum \limits_{k=1}^{2 n+1}(-1)^{k+1} k^{2}=(n+1)(2 n+1) \)

Ansatz:

Bei (a) komme ich auf:

2n^3 + 4n^2 + 3n + 1 = 2n^3 + 9n^2 + 13n + 6

nach dem Aufloesen und vereinfachen beider Seiten.

Answer 1

a)

Vollständige Induktion: Σ (k = 1 bis n) (k^2) = 1/6·n·(n + 1)·(2n + 1)

Induktionsanfang: Wir zeigen, dass es für n = 1 gilt.

Σ (k = 1 bis n) (k^2) = 1/6·n·(n + 1)·(2·n + 1)

Σ (k = 1 bis 1) (k^2) = 1/6·1·(1 + 1)·(2·1 + 1)

1^2 = 1/6·2·3

1 = 1

Stimmt !

Induktionsschritt: Wir zeigen, dass es für n + 1 gilt, unter der Annahme, dass es für n gilt.

Σ (k = 1 bis n + 1) (k^2) = 1/6·(n + 1)·((n + 1) + 1)·(2·(n + 1) + 1)

Σ (k = 1 bis n) (k^2) + (n + 1)^2 = 1/6·(n + 1)·(n + 2)·(2·n + 3)

1/6·n·(n + 1)·(2·n + 1) + (n + 1)^2 = 1/6·(n + 1)·(n + 2)·(2·n + 3)

1/6·n·(2·n + 1) + (n + 1) = 1/6·(n + 2)·(2·n + 3)

1/3·n^2 + 1/6·n + n + 1 = 1/3·n^2 + 7/6·n + 1

1/3·n^2 + 7/6·n + 1 = 1/3·n^2 + 7/6·n + 1

b)

Σ (k = 1 bis n) (k^3) = (Σ (k = 1 bis n) (k))^2 = (n·(n + 1)/2)^2

Induktionsanfang:

1^3 = (1·(1 + 1)/2)^2

1 = 1

Induktionsschritt: Nun zeigen wir, dass es für n + 1 gilt, unter der Annahme dass es für n gilt.

Σ (k = 1 bis n) (k^3) + (n + 1)^3 = Σ (k = 1 bis n + 1) (k^3)

(n·(n + 1)/2)^2 + (n + 1)^3 = ((n + 1)·(n + 2)/2)^2

(n^2/2 + n/2)^2 + (n + 1)^3 = (n^2/2 + 3·n/2 + 1)^2

(n^4/4 + n^3/2 + n^2/4) + (n^3 + 3·n^2 + 3·n + 1) = (n^4/4 + 3·n^3/2 + 13·n^2/4 + 3·n + 1)

n^4/4 + 3·n^3/2 + 13·n^2/4 + 3·n + 1 = n^4/4 + 3·n^3/2 + 13·n^2/4 + 3·n + 1

Und für c) würde ich jetzt gerne deine Versuche sehen. Ich habe das ja jetzt an zwei Beispielen vorgemacht.