Hier die Lösung zu der 2. Aufgabe. Zu zeigen ist, dass
$$ \sum _{ k=1 }^{ n }{ \frac { 1 }{ (2k-1)(2k+1) } } =\frac { n }{ 2n+1 } $$
gilt.
Induktionsanfang n = 1:
$$ \sum _{ k=1 }^{ 1 }{ \frac { 1 }{ (2k-1)(2k+1) } } =\frac { 1 }{ (2\cdot 1-1)(2\cdot 1+1) } =\frac { 1 }{ 3 } =\frac { 1 }{ 2\cdot 1+1 } $$
Induktionsvoraussetzung:
$$ \sum _{ k=1 }^{ n }{ \frac { 1 }{ (2k-1)(2k+1) } } =\frac { n }{ 2n+1 } $$
Induktionsschritt n→n+1:
Maßnahme:
$$ +\frac { 1 }{ [2(n+1)-1][2(n+1)+1] } $$
$$ \sum _{ k=1 }^{ n+1 }{ \frac { 1 }{ (2k-1)(2k+1) } } =\frac { n }{ 2n+1 } +\frac { 1 }{ (2n+1)(2n+3) } $$
$$ =\frac { n(2n+3)+1 }{ (2n+1)(2n+3) } $$
$$ =\frac { n(2n+1)+(2n+1) }{ (2n+1)(2n+3) } $$
$$ =\frac { n+1 }{ 2n+3 } $$
$$ \sum _{ k=1 }^{ n+1 }{ \frac { 1 }{ (2k-1)(2k+1) } } =\frac { n+1 }{ 2(n+1)+1 } $$
w.z.b.w.