Zeigen Sie, dass die folgenden Summenformeln gelten (Kubikzahlen und Teleskopsumme)

Question

Vollständige Induktion

Zeigen Sie, dass die folgende Summenformel gilt:

1)

$$\sum _{ k=1 }^{ n }{ { k }^{ 3 } } =\quad \frac { { n }^{ 2 }({ n+1) }^{ 2 } }{ 4 } $$

 

Zeigen Sie, dass die folgende Summenformel gilt:

2)

$$\sum _{ k=1 }^{ n }{ \frac { 1 }{ k(k+1) }  } =\frac { n }{ n+1 }$$

 

Brauche Hilfe und würde mich sehr über eine Antwort freuen.

Comments

Weißt du, wie vollständige Induktion funktioniert?

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2) ist eine sogenannte Teleskopsumme. Sie wurde hier schon berechnet: https://www.mathelounge.de/55675/berechnung-mit-identitat-logarithmus-und-produkt-von-k-bis

Vollständige Induktion zu 1) vgl: https://www.mathelounge.de/39019/beweis-∑-1-bis-n-k-3-1-4·n-2·-n-1-2

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Zeige erstmal: https://www.mathelounge.de/67776/bezieht-aufgabe-vollstandiger-induktion-grenzwertbestimmung

Dann ist das obige Problem fast keines mehr ;).

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Die Summe ist ein typischer Fall einer Teleskopsumme.

Du findest viele Berechnungen dieser Summe über die Suche.

https://www.mathelounge.de/suche?q=teleskopsumme 

Answer 1

Hi, benutze \( \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \), daraus folgt
\( \sum_{n=1}^k \frac{1}{n(n+1)} = 1 - \frac{1}{k+1} = \frac{k}{k+1} < 1 \)
Damit ist die Folge der Partialsummen monoton steigend und beschränkt, also konvergent.