Beweisen Sie, dass die folgenden Summenformeln für alle n ∈ ℕ gelten (Vollständige Induktion)

Question

Aufgabe (vollständige Induktion):

Beweisen Sie, dass die folgenden Summenformeln für alle \( n \in \mathbb{N} \) gelten:

i) \( \sum \limits_{k=1}^{n}(-1)^{k-1} k^{2}=(-1)^{n-1} \frac{n(n+1)}{2} \)

ii) \( \sum \limits_{k=1}^{n} \frac{1}{(2 k-1)(2 k+1)}=\frac{n}{2 n+1} \)

Ansatz/Problem:

Ich weiß nicht, wie man eine vollständige Induktion durchführt.

Answer 1

HI,

IA: Sei \( n = 1 \) dann gilt
$$ \sum_{k=1}^1 (-1)^{k-1} k^2 = (-1)^0 1^2 = 1  $$ und
$$ (-1)^{n-1} \frac{n(n+1)}{2} = (-1)^0 \frac{1(1+1)}{2} = 1  $$
Der Induktionsanfang stimmt also.

IV: Jetzt gelte $$ \sum_{k=1}^n (-1)^{k-1} k^2 = (-1)^{n-1} \frac{n(n+1)}{2} $$

IS: Zu zeigen ist, dass gilt
$$ \sum_{k=1}^{n+1} (-1)^{k-1} k^2 = (-1)^{n} \frac{(n+1)(n+2)}{2} $$
$$ \sum_{k=1}^{n+1} (-1)^{k-1} k^2 = \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k-1} k^2 + (-1)^{n}(n+1)^2 $$

wegen der IV gilt weiter
$$ = (-1)^{n-1} \frac{n(n+1)}{2} + (-1)^{n}(n+1)^2  = (-1)^{n-1} (n+1) \left( \frac{n}{2} - (n+1) \right) = (-1)^{n}(n+1) \frac{n+2}{2} $$
also das verlangte Ergebnis.

Answer 2

Hier die Lösung zu der 2. Aufgabe. Zu zeigen ist, dass

$$ \sum _{ k=1 }^{ n }{ \frac { 1 }{ (2k-1)(2k+1) }  } =\frac { n }{ 2n+1 } $$

gilt.

Induktionsanfang n = 1:

$$ \sum _{ k=1 }^{ 1 }{ \frac { 1 }{ (2k-1)(2k+1) }  } =\frac { 1 }{ (2\cdot 1-1)(2\cdot 1+1) } =\frac { 1 }{ 3 } =\frac { 1 }{ 2\cdot 1+1 } $$

Induktionsvoraussetzung:

$$ \sum _{ k=1 }^{ n }{ \frac { 1 }{ (2k-1)(2k+1) }  } =\frac { n }{ 2n+1 } $$

Induktionsschritt n→n+1:

Maßnahme:

$$ +\frac { 1 }{ [2(n+1)-1][2(n+1)+1] } $$

$$ \sum _{ k=1 }^{ n+1 }{ \frac { 1 }{ (2k-1)(2k+1) }  } =\frac { n }{ 2n+1 } +\frac { 1 }{ (2n+1)(2n+3) } $$

$$ =\frac { n(2n+3)+1 }{ (2n+1)(2n+3) } $$

$$ =\frac { n(2n+1)+(2n+1) }{ (2n+1)(2n+3) } $$

$$ =\frac { n+1 }{ 2n+3 } $$

$$ \sum _{ k=1 }^{ n+1 }{ \frac { 1 }{ (2k-1)(2k+1) }  } =\frac { n+1 }{ 2(n+1)+1 } $$

w.z.b.w.