Ist meine Lösung so richtig?

Question

Aufgabe:

Bin mir unsicher bei dem Beweis. Ist meine Lösung so richtig?

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

(c) $f^{-1}(A \cap B)=f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B)$ for alle $A, B \leqslant N$
$x \in f^{-1}(A \cap B) \quad f^{-1}(A \cap B) \leq f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B) \quad f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B) \subseteq f^{-1}(A \cap B)$
$\Rightarrow f^{-1}(y) \in f^{-1}(A) \wedge f^{-1}(y) \in f^{-1}(y) \cap f^{-1}(B)$
$\Rightarrow f^{-1}(y) \in f^{-1}(A)$
$\Rightarrow x \in f^{-1}(A) \cap x \in f^{-1}(B)$
$\Rightarrow \quad \exists y \in A \wedge y \in B$
mit $f^{-1}(y)=x$
$\Rightarrow y \in A \cap B$
$\Rightarrow x \in f^{-1}(A \cap B)$

Answer 1

Hallo,

deine Ideen sind dir Richtigen, allerdings ist die Notation nicht so gut.
Ich denke mal $f$ ist hier eine allgemeine Funktion und keine Bijektion. In dem Fall solltest du nicht so etwas wie $f^{-1}(y)=x$ schreiben, aus mehreren Gründen. Zum einen betrachtet man streng genommen Urbilder von Mengen, d.h. man sollte besser $f^{-1}(\{y\})$ schreiben. Oftmals trifft man aber die Vereinbarung, dass man statt $f^{-1}(\{y\})$ auch $f^{-1}(y)$ scheiben kann (ich weiß natürlich nicht ob ihr das dürft).
Viel wichtiger ist, dass die Urbilder auch wieder Mengen sind, d.h. $f^{-1}(\{y\})$ ist eine Menge und daher ist $f^{-1}(\{y\})=x$ falsch. Was du meinst ist $x\in f^{-1}(\{y\})$. (Es kann aber z.B. $f^{-1}(\{y\})=\{x\}$ sein).

Auf der rechten Seite hast du geschrieben $\exists y\in A\,\land\,y\in B$ besser wäre $\exists y(y\in A\,\land\,y\in B)$. Vielleicht solltest du da auch noch genauer begründen, warum es so ein $y$ gibt (du kannst es sogar angeben, probiere mal $f(x)$). Dasselbe Problem gibt es auch nochmal in der Mitte.

Wenn du die Notationen verbesserst, sollte der Beweis stimmen.

(Anmerkung: Man kann den Beweis etwas abkürzen aber darauf wollte ich jetzt nicht eingehen, da es wichtiger ist deinen eigenen Beweis einmal richtig aufzuschreiben)

LG Dojima