Aufgabe:
Sei \( \left\{A_{n}\right\}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathcal{F} \), sodass \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \mathbb{P}\left(A_{k}\right)=\infty \) gilt. Ferner nehmen wir an, dass \( \left\{A_{n}\right\}_{n \in \mathbb{N}} \) eine Folge stochastisch unabhängiger Ereignisse sei. Zeige, dass \( \mathbb{P}(A)=0 \) für jedes \( A \in \mathcal{F} \) mit \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \mathbb{P}\left(A_{k} \cap A\right)<\infty \)
Hinweis: Zeige zunächst, dass für jedes \( C \in \mathcal{F} \) mit \( \mathbb{P}(C)=1 \) die Gleichung \( \mathbb{P}(B \cap C)=\mathbb{P}(B) \) für alle \( B \in \mathcal{F} \) gilt. Benutze anschließend zweimal das Lemma von Borel-Cantelli.
