Wie löse ich diese Aufgabe? Danke!
Aufgabe:
Es sei \( \mathcal{A} \) eine Banach-Algebra und \( \gamma: I \rightarrow \mathcal{A} \) differenzierbar, d. h. für alle \( t \in I \) existiere der Grenzwert
\(\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{1}{h}(\gamma(t+h)-\gamma(t))=:\gamma^{\prime}(t) .\)
(a) Zeigen Sie: Ist \( \gamma^{\prime}(t)=0 \) für alle \( t \in I \), so ist \( \gamma \) konstant.
(b) Formulieren und beweisen Sie eine Produktregel für Funktionen \( \gamma \) und \( \delta \) wie oben. Welche Eigenschaft der Norm auf einer B-Algebra wird verwendet?
(c) Beweisen Sie: Ist \( \gamma^{\prime}(t)=\gamma(t) \cdot a \) für ein festes \( a \in \mathcal{A} \), so gilt \( \gamma(t)=\gamma(0) e^{t a} \). (Unter welcher zusätzlichen Voraussetzung hat man auch \( \gamma(t)=e^{\text {ta }} \gamma(0) \) ?)
