Kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen? Danke!
Aufgabe:
Auf dem Banachraum \( E=\left(C_{0}(\mathbb{R}),\left\|_{\infty}\right\|_{\infty}\right) \) sei für festes \( h>0 \) der lineare Operator
\(A_{h}: E \rightarrow E, \quad f \mapsto A_{h} f\)
definiert durch
\(A_{h} f(x):=\frac{1}{h}(f(x+h)-f(x)) .\)
Zeigen Sie:
(a) \( A_{h} \in L(E) \) mit \( \left\|A_{h}\right\|=\frac{2}{h} \),
(b) für \( t \geq 0 \) ist
\(e^{t A_{h}} f(x)=e^{-\frac{t}{h}} \sum \limits_{l=0}^{\infty}\left(\frac{t}{h}\right)^{l} \frac{f(x+l h)}{l !},\)
(c) es gilt \( \left\|e^{t A_{h}}\right\| \leq 1 \).
