lineare Operatoren im Banachraum

Question

Ich komme bei folgenden Beispiel nicht weiter und hoffe ihr könnt mir helfen:
Sei(V,||.||) und ein Banachraum und F: V→V ein beschränkter linearer Operator mit der Beschränktheitskonstante K. Geben Sie eine hinreichende Bedingung an K an die sicherstellt dass die Gleichung x= Fx+c eine eindeutige Lösung besitzt. Begründen Sie dies mit Hilfe eines bekannten Satzes.
Mir fällt dazu leider nicht viel ein außer das K>0 und das ||F(x)|| < K * ||x|| sein muss.

Danke schon mal für die Hilfe!!

Answer 1

betrachte den  Operator G(x)=Fx+c

es gilt ||G(x)||<K*||x||

sei die Metrik d induziert durch d(x,y)=||x-y||

es gilt d(G(x),G(y))=||G(x)-G(y)||=||F(x)-F(y)||=||F(x-y)||<K*||x-y||=K*d(x,y)

also d(G(x),G(y))<K*d(x,y)

für K∈[0,1) handelt es sich bei G um eine kontrahierende Abbildung.

Also sind die Voraussetzungen des Banachschen Fixpunktsatzes erfüllt und es gibt ein eindeutiges

x∈V , sodass G(x)=F(x)+c=x