Sei im folgenden \( V \) ein Banachraum mit Norm \( \|\cdot\| \).
(a) Seien \( \left(x_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}} \) und \( \left(y_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}} \) konvergente Folgen in \( V \) und \( \left(\alpha_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}} \) eine konvergente Folge aus \( \mathbb{R} \). Zeigen Sie, dass dann die Folgen
\( \left(x_{k}+y_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}}, \quad\left(\alpha_{k} x_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}} \)
konvergieren und geben Sie die zugehörigen Grenzwerte an.
(b) Sei \( \mathcal{L}(V) \) die Menge der Abbildungen \( A: V \rightarrow V \) für welche eine Konstante \( C \) mit \( \|A x\| \leq C\|x\| \) für alle \( x \in V \) existiert. Zeigen Sie, dass die Operatornorm
\( \|A\|:=\sup _{x \in V \backslash\{0\}} \frac{\|A x\|}{\|x\|} \)
auf \( \mathcal{L}(V) \) eine Norm definiert und mit dieser Norm \( \mathcal{L}(V) \) vollständig ist.
