Banachraum, Summe konvergenter Folgen konvergiert, Operatornorm

Question

Sei im folgenden \( V \) ein Banachraum mit Norm \( \|\cdot\| \).

(a) Seien \( \left(x_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}} \) und \( \left(y_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}} \) konvergente Folgen in \( V \) und \( \left(\alpha_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}} \) eine konvergente Folge aus \( \mathbb{R} \). Zeigen Sie, dass dann die Folgen

\( \left(x_{k}+y_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}}, \quad\left(\alpha_{k} x_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}} \)

konvergieren und geben Sie die zugehörigen Grenzwerte an.

(b) Sei \( \mathcal{L}(V) \) die Menge der Abbildungen \( A: V \rightarrow V \) für welche eine Konstante \( C \) mit \( \|A x\| \leq C\|x\| \) für alle \( x \in V \) existiert. Zeigen Sie, dass die Operatornorm

\( \|A\|:=\sup _{x \in V \backslash\{0\}} \frac{\|A x\|}{\|x\|} \)

auf \( \mathcal{L}(V) \) eine Norm definiert und mit dieser Norm \( \mathcal{L}(V) \) vollständig ist.

Answer 1

Zu a)

Betrachte

$$||(x_{k} + y_{k}) - (x + y)|| = ||(x_{k} - x) + (y_{k} - y)|| \leq ||(x_{k} - x)|| + ||(y_{k} - y)|| \rightarrow 0$$ nach Voraussetzung (dabei wurde die Dreiecksungleichung benutzt).
Daher konvergiert die Summenfolge gegen x + y.

Analog:
$$||α_{k}x_{k} - αx|| = || α_{k}x_{k} - αx_{k} + αx_{k} - αx|| \leq || α_{k}x_{k} - αx_{k}|| + ||αx_{k} - αx|| =\\ |α_{k} - α||x_{k}|| + |α||x_{k} - αx|| \rightarrow 0$$
da nach der Voraussetzung beide Terme im letzten Ausdruck gegen Null gehen (beim ersten weil (x_k) konvergent ist, ist es auch beschränkt). Somit ist der Grenzwert αx.

Zu b)
Hier sind die Normeigenschaften zu überprüfen.
Positivität und Definitheit:
$$\text{ Für alle } A \in L(V) \text{ gilt } ||A|| \geq 0 \\\text{ Aus } ||A|| = 0 \text{ folgt } \frac{||Ax||}{||x||} = 0 \text{ für alle } x \neq 0 \Longrightarrow Ax = 0 \text{ für alle x } \Longrightarrow A = 0$$
Homogenität:
Offensichtlich gilt: ||λA|| = |λ|||A|| für alle λ aus dem Körper und alle A.
Dreiecksungleichung:
$$||(A + B)x|| \leq ||Ax|| + ||Bx|| \Longrightarrow\\ \frac{||(A + B)x||}{||x||} \leq \frac{||Ax||}{||x||} +\frac{||Bx||}{||x||}\text{ für }x \neq 0 \Longrightarrow ||A + B|| \leq ||A|| + ||B||$$
Vollständigkeit: Zu zeigen ist, daß jede Cauchy-Folge von Abbildungen aus L(V) gegen eine Abbildung aus L(V) konvergiert.

Sei (A_n) eine Cauchy-Folge, d.h. für jedes ε > 0 existiert ein N ∈ ℕ, so daß für alle m,n ≥ N gilt: ||A_n - A_m|| < ε
Betrachte (A_nx)_n∈ℕ  in V. Dies ist für festes x auch eine Cauchy-Folge. Da V vollständig ist konvergiert (A_nx) für jedes x gegen ein Ax. Ax ist offensichtlich linear.
Nach Voraussetzung ist (A_n) gleichmäßig beschränkt, also ||A_n|| ≤ C für alle n. Damit folgt:
$$||Ax|| = ||\lim\limits_{n\to\infty}A_{n}x|| \leq \lim\limits_{n\to\infty}||A_{n}x|| \leq \lim\limits_{n\to\infty}||A_{n}||||x|| \leq C||x||$$
Also ist auch A gleichmäßig beschränkt.

Zu zeigen ist jetzt noch, daß (A_n) in der Operatornorm gegen A konvergiert, d.h.
$$||A_{n} - A|| = sup_{x\in V,||x||=1}||A_{n}x - Ax|| < ε$$
Wegen der gezeigten Punktweisen Konvergenz gilt für x mit ||x|| = 1: $$\lim\limits_{n\to\infty}||A_{n}x - Ax|| = 0$$
Da A gleichmäßig beschränkt ist folgt:
$$Sup_{||x||=1}||(A_{n} - A)x|| ≤ C||A_{n} - A|| \rightarrow 0 \text{ für }n \rightarrow ∞  $$

und damit die Vollständigkeit.

Comments

Ich sehe nicht, dass Du ||A_n-A||->0 gezeigt hast.

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Ich hatte so etwas schon erwartet ;-) bin wohl etwas eingerostet, aber dazu mache ich ja diese Fingerübungen.

Es fehlt wohl noch, daß

$$||A_{n}x - Ax|| \leq ||A_{n}x - A_{m}x|| + ||A_{m}x - Ax||$$

wobei die beiden Beträge rechts jeweils kleiner als ε\2 gemacht werden können für genügend große n>N und m>M_X. Der erste da A_n Cauchyfolge ist, der zweite wegen der Punktweisen Konvergenz.

PS. Diesen ganzen Text mit LaTex aufzuschreiben, macht keinen richtigen Spaß. Man fokussiert sich fast mehr auf die Formeln statt den Inhalt.

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