Äquivalenz Operatornormen

Question

Ich habe zwei Operatornormen für Matrizen:

1.  || A || =  sup ( || Ax || / ||x|| ) für ||x|| ungleich 0.            

2. ||| A ||| = sup ( || Ax ||)  für || x || = 1

Man soll zeigen, dass diese Normen gleich sind.

In den Lösungen steht:

|| A || =  sup ( || Ax || / ||x|| ) =  sup (|| A* (x/ ||x|| ) ||| ) =  sup ( || Ax ||)  für || x || = 1

Kann mir jemand sagen, was hier gemacht wird?

Answer 1

$$ \| A \|  = \sup \frac{ \|A x\| }{ \|x\| } = \sup  \left \|A \frac{ x }{ \|x   \| } \right \| $$ weil für \(  \lambda = \frac{1}{\|x\|} \) gilt, \( \lambda \|Ax\| = \|\lambda \cdot Ax \| = \| A (\lambda \cdot x) \| \) gilt.

Der Vektor \( \frac{x}{\| x \|} \) ist aber ein Einheitsvektor wegen \( \left \| \frac{x}{\|x\|} \right \| = \cfrac{\|x\|}{\|x\|} = 1 \)

Also gilt \(  \|A \| =\sup_{\|x\|=1} \|Ax\| \)

Comments

Hm. Für mich sind das alles so triviale umformungen. Also genau so als würde ich sagen, dass dann 1 im Zähler stehen würde und man das deswegen weglassen könnte.

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Ja gut, aber komplizirter ist es nicht.

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Das Ding ist, dass ich mir schlecht vorstellen kann, dass das supremum dadurch nicht ändert, wenn ||x|| = 1 ist.

Durch die zweite Norm wird ja festgelegt,dass ||x||= 1 ist  und in der ersten kann doch ein supremum für ||x|| ungleich 1 vorliegen oder nicht?

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Eigentlich nicht, weil Du im ersten Fall ja \( \frac{x}{\|x\|} \)  betrachtest und ist ist Betragsmäßig \( 1 \)

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Ah. Der Vektor wird normiert. Danke, jetzt hab ich es gecheckt.