Normierte Räume und lineare Abbildung; zeige die Äquivalenz der Aussagen a) bis d)

Question

Es sind X, Y normierte Räume und A eine lineare Abbildung von X nach Y. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:

a) A ist stetig

b) A ist stetig im Ursprung

c) sup _IIxII=1 (IIAxII) < ∞

d) Es gibt ein C>0 so, dass für alle x∈X gilt IIAxII ≤ CIIxII

Problem/Ansatz: Ein Ringschluss ist hier angemessen, nur komm ich bei den einzelnen Implikationen nicht so ganz auf einen grünen Zweig.

Answer 1

a) \( \implies \) b): Ist klar.

b) \( \implies \) c): Da \( \left\| \cdot \right\|_{ X}  \) eine stetige Funktion ist (in Bezug auf die durch \( \left\| \cdot \right\| \) induzierte Topologie) ist
\(D =  \{ x \in X\mid \left\| x\right\|_{  X} =1 \}\) als Urbild einer kompakten Menge wieder kompakt. Insebesondere nimmt also die Funktion
\( f( x)  = \left\| Ax\right\| _{ Y} \) auf \( D\) ihr Maximum an.

c) \( \implies \) d): Es gilt
\(\begin{aligned} \left\| Ax\right\| _{ Y} = \left\| A \frac{ x}{ \left\| x\right\| _{ X} }\right\| _{ Y} \left\| x\right\|_{  X} \le \underbrace{ \left( \sup_{ \left\| x\right\| _{ X} =1} \left\| Ax\right\|_{ Y} \right)}_{C} \left\| x\right\|_{  X} = C \left\| x\right\|_{  X} .\end{aligned}\)

d) \( \implies \) a): Wir haben
\(\begin{aligned} \left\| A( x)  - A( y) \right\|_{ Y} = \left\| A( x - y) \right\|_{ Y} \le C \left\| x - y\right\|_{  X} \end{aligned}\)
also ist \( A\) lipschitz.