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Es sind X, Y normierte Räume und A eine lineare Abbildung von X nach Y. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:

a) A ist stetig

b) A ist stetig im Ursprung

c) sup IIxII=1 (IIAxII) < ∞

d) Es gibt ein C>0 so, dass für alle x∈X gilt IIAxII ≤ CIIxII


Problem/Ansatz: Ein Ringschluss ist hier angemessen, nur komm ich bei den einzelnen Implikationen nicht so ganz auf einen grünen Zweig.

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a)      \implies b): Ist klar.

b)      \implies c): Da X \left\| \cdot \right\|_{ X} eine stetige Funktion ist (in Bezug auf die durch \left\| \cdot \right\| induzierte Topologie) ist
D={xXxX=1}D = \{ x \in X\mid \left\| x\right\|_{ X} =1 \} als Urbild einer kompakten Menge wieder kompakt. Insebesondere nimmt also die Funktion
f(x)=AxY f( x) = \left\| Ax\right\| _{ Y} auf D D ihr Maximum an.

c)      \implies d): Es gilt
AxY=AxxXYxX(supxX=1AxY)CxX=CxX.\begin{aligned} \left\| Ax\right\| _{ Y} = \left\| A \frac{ x}{ \left\| x\right\| _{ X} }\right\| _{ Y} \left\| x\right\|_{ X} \le \underbrace{ \left( \sup_{ \left\| x\right\| _{ X} =1} \left\| Ax\right\|_{ Y} \right)}_{C} \left\| x\right\|_{ X} = C \left\| x\right\|_{ X} .\end{aligned}

d)      \implies a): Wir haben
A(x)A(y)Y=A(xy)YCxyX\begin{aligned} \left\| A( x) - A( y) \right\|_{ Y} = \left\| A( x - y) \right\|_{ Y} \le C \left\| x - y\right\|_{ X} \end{aligned}
also ist A A lipschitz.





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