Aufgabe:
(a) Bestimmen Sie im normierten Raum \( \left(\mathbb{R}^{2},\|\cdot\|_{\infty}\right) \) den Rand von
\( S:=\left\{(x, y) \in(0, \infty) \times(-1, \infty) \left\lvert\, y \geq \sin \left(\frac{1}{x}\right)\right.\right\} \)
(b) Betrachten Sie
\( A:=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, 0\right) \in \mathbb{R}^{3} \mid x_{1}, x_{2} \in \mathbb{R}, x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \leq 1\right\}, \quad V:=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, 0\right) \in \mathbb{R}^{3} \mid x_{1}, x_{2} \in \mathbb{R}\right\} \)
Geben Sie an und begründen Sie:
(Hinweis : Hier bezeichnen wir mit \( \|\cdot\|_{2} \) die Euklidische Norm.)
(i) Ist \( A \) in \( \left(\mathbb{R}^{3},\|\cdot\|_{2}\right) \) abgeschlossen?
(ii) Was sind \( \partial A, \operatorname{int}(A) \) und \( \bar{A} \) in \( \left(\mathbb{R}^{3},\|\cdot\|_{2}\right) \) ?
(iii) Ist \( \left(V,\|\cdot\|_{2}\right) \) ein normierter Raum?
(iv) Ist \( A \) in \( \left(V,\|\cdot\|_{2}\right) \) abgeschlossen?
(v) Was \( \operatorname{sind} \partial A \), int \( (A) \) und \( \bar{A} \) in \( \left(V,\|\cdot\|_{2}\right) \) ?
