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Seien \( \left(X_{1},\|\cdot\|_{1}\right) \) und \( \left(X_{2},\|\cdot\|_{2}\right) \) normierte Räume, sowie \( x_{1} \in X_{1} \) und \( x_{2} \in X_{2} \).
(Hinweis: Mit \( \|\cdot\|_{1} \) und \( \|\cdot\|_{2} \) sind in dieser Aufgabe zwei beliebige Normen und nicht speziell die \( p=1 \) oder \( p=2 \) Norm gemeint. Wenn Sie die Bearbeitung bereits begonnen haben, können Sie dies hier auch nur für die Spezialfälle zeigen.)
(a) Zeigen Sie, dass durch
\( \left\|\left(x_{1}, x_{2}\right)\right\|=\max \left\{\left\|x_{1}\right\|_{1},\left\|x_{2}\right\|_{2}\right\} \)
eine Norm (die sog. Produktnorm) auf dem Produktraum \( X_{1} \times X_{2} \) definiert wird.
(b) Zeigen Sie weiterhin, dass bezüglich der Produktnorm für alle \( \left(x_{1}, x_{2}\right) \in X_{1} \times X_{2} \) und \( \varepsilon>0 \) gilt
\( B\left(\left(x_{1}, x_{2}\right), \varepsilon\right)=B\left(x_{1}, \varepsilon\right) \times B\left(x_{2}, \varepsilon\right) . \)
Hallo, ich verstehe hier garnichts, kann jemand helfen?
Danke
