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Huhu, Ich habe folgende Aufgabe, die mir Probleme bereitet. Ich bin leider sehr unsicher, was das Rechnen mit Normen angeht, daher wäre ich sehr dankbar, wenn mir jemand helfen könnte :)IMG_0754.jpeg

Text erkannt:

Seien (X1,) \left(X_{1},\|\cdot\|\right) und (X2,2) \left(X_{2},\|\cdot\|_{2}\right) normierte Räume, sowie x1X1 x_{1} \in X_{1} und x2X2 x_{2} \in X_{2} .
(a) Zeigen Sie, dass durch
(x1,x2)=max{x11,x22} \left\|\left(x_{1}, x_{2}\right)\right\|=\max \left\{\left\|x_{1}\right\|_{1},\left\|x_{2}\right\|_{2}\right\}
eine Norm (die sog. Produktnorm) auf dem Produktraum X1×X2 X_{1} \times X_{2} definiert wird.
(b) Zeigen Sie weiterhin, dass bezüglich der Produktnorm für alle (x1,x2)X1×X2 \left(x_{1}, x_{2}\right) \in X_{1} \times X_{2} und ε>0 \varepsilon>0 gilt
B((x1,x2),ε)=B(x1,ε)×B(x2,ε). B\left(\left(x_{1}, x_{2}\right), \varepsilon\right)=B\left(x_{1}, \varepsilon\right) \times B\left(x_{2}, \varepsilon\right) .

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Was genau heißt "unsicher"? Was hast du schon probiert? Und hast du dir schon die Definition der beiden Normen angeschaut?

Hi, ich habe bei a) bis jetzt die Definitheit und die Homogenität gezeigt aber bei der Dreiecksungleichung komm ich leider nicht weiter.

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Für die Dreiecksungleichung musst du doch nur ausnutzen, dass diese auch für die Norm 1||\cdot ||_1 gilt und damit

max{x1+y11,x2+y21}max{x11+y11,x21+y21}max{x11,y11}+max{x21,y21}\max\{||x_1+y_1||_1,||x_2+y_2||_1\}\leq \max\{||x_1||_1+||y_1||_1,||x_2||_1+||y_2||_1\}\leq \max\{||x_1||_1,||y_1||_1\}+\max\{||x_2||_1,||y_2||_1\} gilt.

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