Zeigen Sie: Der normierte Raum ist nicht vollständig.

Question

Zeigen Sie: Der normierte Raum \( \left(C^{0}([-1,1]),\|\cdot\|\right) \) mit

\( \|f\|:=\int \limits_{-1}^{1}|f(x)| \mathrm{d} x \)

ist nicht vollständig. Hinweis: Der Nachweis der Normeigenschaften ist nicht erforderlich.

Answer 1

Schau doch mal hier bei den Beispielen nach:

https://mathepedia.de/Normierte_Raeume.html

und pass die Funktion auf das Intervall an.

Normierte Räume und Banachräume

Ein Vektorraum \( V \) über den reellen Zahlen \( \mathbb{R} \) (oder den komplexen Zahlen \( \mathbb{C} \) ) heißt ein normierter Vektorraum oder kürzer normierter Raum, wenn es eine Abbildung \( \|\cdot\|: V \rightarrow \) \( \mathbb{R} \) gibt, welche die folgenden Eigenschaften besitzt:

i. \( \|a\|>0 \) für alle \( a \neq 0 \)
ii. \( \|\lambda a\|=|\lambda|\|a\| \) für alle \( \lambda \in \mathbb{R} \) und \( a \in V \) (Homogenität)
iii. \( \|a+b\| \leq\|a\|+\|b\| \) für alle \( a, b \in V \)

Diese Abbildung wird Norm genannt. Man benutzt die Doppelstriche \( \|\cdot\| \) um die Norm vom Absolutbetrag der reellen Zahlen zu unterscheiden.

Eigenschaft iii. ist die allseits bekannte Dreiecksungleichung in vektorieller Form.