Aufgabe:
Zeigen Sie, dass der normierte Vektorraum (C[0,1], ||*||[0,1]) vollständig ist
Wie gehe ich hier vor?
Die aufgabe davor habe ich leider auch nicht:
Text erkannt:
Aufgabe 2 (5 Punkte)
Sei \( C^{1}[0,1]=\{f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}: f \) ist stetig differenzierbar \( \} \). Sei \( \|f\|=\|f\|_{[0,1]}+\left\|f^{\prime}\right\|_{[0,1]} \) für \( f \in C^{1}[0,1] \).
(a) \( \left(1 \frac{1}{2}\right. \) Punkte) Zeigen Sie, dass \( \|\cdot\| \) eine Norm auf \( C^{1}[0,1] \) definiert.
(b) (1 Punkt) Zeigen Sie, dass die lineare Abbildung
\( D: C^{1}[0,1] \rightarrow C[0,1], \quad D f=f^{\prime} \)
stetig ist, wenn \( C^{1}[0,1] \) mit \( \|\cdot\| \) und \( C[0,1] \) mit \( \|\cdot\|_{[0,1]} \) versehen sind.
(c) \( \left(2 \frac{1}{2}\right. \) Punkte) Zeigen Sie, dass
\( I: C[0,1] \rightarrow C^{1}[0,1], \quad(I f)(x)=\int \limits_{0}^{x} f(t) d t \quad(x \in[0,1]) \)
eine lineare Abbildung definiert, die stetig ist, wenn \( C^{1}[0,1] \) mit \( \|\cdot\| \) und \( C[0,1] \) mit \( \|\cdot\|_{[0,1]} \) versehen sind.
