Zeigen Sie, die Äquivalenz dieser Aussagen über zwei normierte Räume.

Question

Aufgabe:

$$\text{ Seien }(X,||*||_{A})\text{ und }(X,||*||_{B})\text{ normierte Räume. Zeigen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind: }$$

$$-\text{ Die Normen }||*||_{A}\text{ und }||*||_{B}\text{ sind äquivalent.}$$

$$-\text{ Eine Menge ist in }(X,||*||_{A})\text{ offen genau dann, wenn sie in }(X,||*||_{B}) \text{ offen ist. } $$

Problem/Ansatz:

$$\text{ Wir sollen hier also zeigen, dass }$$

$$"||*||_{A} = ||*||_{B}"<=>"(M\in(X,||*||_{B}):\forall x\in M \exists \epsilon>0:\forall y\in X\text{ gilt }(||*||_{B}<\epsilon => y\in M)$$

$$=>M\in(X,||*||_{A}):\forall x\in M \exists \epsilon>0:\forall y\in X\text{ gilt }(||*||_{A}<\epsilon => y\in M))"$$

$$\text{ Ich hoffe ich habe das so richtig verstanden und wenn ja hoffe ich auf Hilfe dabei die Äquivalents zu zeigen. }$$

Answer 1

Hallo

zuerst solltest du die Bedingung hinschreiben, wann zwei Normen äquivalent sind, dann solltest du nicht allgemein ||*|| hinschreiben sondern entweder d_A(x,y) oder ||x-y||_A

vielleicht auch die ε bei A und B verschieden nennen etwa  εA und εB oder ..

und ja das sollst du zeigen , im wesentlichen hast du ja nur die Def von offen hingeschrieben

Gruß lul