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Beispiel 3
Es sei \( V \) ein normierter Raum und \( B \) die Menge aller beschränkten Folgen in \( V \), d.h.
\( B=\left\{\left(\mathfrak{a}_{n}\right)_{n} \in{ }^{\mathbb{N}} V \text { : es gibt ein } q \in \mathbb{R}^{+} \text {mit }\left\|\mathfrak{a}_{n}\right\| \leqslant q \text { für alle } n\right\} . \)
Wir definieren für \( \left(\mathfrak{a}_{n}\right)_{n},\left(\mathfrak{b}_{n}\right)_{n} \in{ }^{\mathbb{N}} V \) und \( c \in \mathbb{C} \)
\( \begin{array}{l} \left(\mathfrak{a}_{n}\right)_{n}+\left(\mathfrak{b}_{n}\right)_{n}=\left(\mathfrak{a}_{n}+\mathfrak{b}_{n}\right)_{n}, \\ c \cdot\left(\mathfrak{a}_{n}\right)_{n}=\left(c \mathfrak{a}_{n}\right)_{n} . \end{array} \)
Zeigen Sie, dass \( B \) unter diesen Operationen abgeschlossen ist und dadurch zum linearen Raum über \( \mathbb{C} \) wird.
Aufgabe:
