Zeige, dass (C, |·|) ein Banachraum ist. Komplexe Zahlen

Question

Zeige, dass (, |·|) ein Banachraum ist.

Hab leider keinen Ansatz.

Answer 1

1. Zeige, dass \(|.|:\mathbb{C}\rightarrow \mathbb{R}\) eine Norm auf \(\mathbb{C}\) ist.

2. Zeige, dass wenn \(z_n=x_n+iy_n\) mit reellen \(x_n,y_n\) eine

Cauchfolge ist, dass dann auch \(x_n\) und \(y_n\) Cauchyfolgen sind.

Da \(\mathbb{R}\) vollständig ist (darauf basiert ja das reelle Cauchysche

Konvergenzkriterium), konvergieren die Folgen \(x_n\) und \(y_n\) gegen z.B.

\(x\) und \(y\).

3. Zeige nun, dass \(\lim_n(x_n+iy_n)=x+iy=:z=\lim_n z_n\).

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Vielen Dank :)