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Aufgabe:

Ich soll folgende Ungleichung beweisen:

\( \frac{1}{n} \) κ2 (A)≤ κ1 (A) ≤ nκ2 (A)

Wobei A∈ℝ^(n+n) und x∈ℝ^n

und κp (A)= ||A||p ||A^-1||p

und ||A||p = supremun \( \frac{||Ax||p}{||x||p} \)


Problem/Ansatz:

In der Teilaufgabe zuvor habe ich bewiesen, dass ||x||2 ≤ ||x||1 ≤ \( \sqrt{n} \)  ||x||2

Ich weiß dass ich diese Formel aus der vorherigen Teilaufgabe brauche aber ich weiß nicht wo.

Zuerst habe ich erstmal alles eingesetzt was ich einsetzten konnte. Weiter komme ich leider schon nicht.

Hat jemand einen Tipp?

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1 Antwort

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Beste Antwort

Die Abschätzungen für die Vektor-Normen übertragen sich auf die Abschätzungen für die Matrizen-Normen. Zum Beispiel:

$$\frac{\|Ax\|_1}{\|x\|_1} \leq \frac{\sqrt{n} \|Ax\|_2}{\|x\|_2} \Rightarrow \|A\|_1 \leq \sqrt{n}\|A\|_2$$

Avatar von 14 k

Muss ich das erst beweisen oder darf ich das einfach so annehmen?

Ich denke, das gehört zur Aufgabe dazu.

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